Dans un problème utilisant la loi binomiale, le plus important n'est pas seulement d'effectuer un calcul : il faut d'abord modéliser correctement la situation, traduire la question en langage probabiliste, puis interpréter le résultat obtenu.
1. La méthode complète en 6 étapes
1. Définir le succès
Préciser clairement l'événement considéré comme un succès.
2. Vérifier les conditions
On répète la même épreuve, avec deux issues, de façon indépendante et avec une probabilité de succès constante.
3. Identifier \(n\) et \(p\)
\(n\) est le nombre d'épreuves et \(p\) la probabilité d'un succès.
4. Définir \(X\)
\(X\) désigne le nombre de succès obtenus au cours des \(n\) épreuves.
5. Donner la loi
Écrire :
\[
\boxed{X\sim\mathcal B(n,p)}.
\]
6. Calculer et interpréter
Traduire la question, effectuer le calcul puis rédiger une phrase de conclusion dans le contexte.
2. Les deux calculs de base à la calculatrice
Pour \(X\sim\mathcal B(n,p)\), la calculatrice permet principalement d'obtenir deux types de résultats :
- la probabilité ponctuelle \(P(X=k)\) ;
- la probabilité cumulée \(P(X\leq k)\).
Probabilité ponctuelle
\[ \boxed{P(X=k)} \] Elle correspond à « exactement \(k\) succès ».Selon le modèle de calculatrice, la commande porte généralement un nom du type Binomial PDF, binomFdp ou équivalent.
Probabilité cumulée
\[ \boxed{P(X\leq k)} \] Elle correspond à « au plus \(k\) succès ».Selon le modèle, la commande porte généralement un nom du type Binomial CDF, binomFRép ou équivalent.
Important. Les noms exacts des menus varient selon les modèles de calculatrices. En revanche, la signification mathématique reste toujours la même : une commande calcule \(P(X=k)\), l'autre calcule \(P(X\leq k)\).
3. Obtenir les autres probabilités
| Question | Écriture à utiliser |
|---|---|
| Exactement \(k\) | \(P(X=k)\) |
| Au plus \(k\) | \(P(X\leq k)\) |
| Moins de \(k\) | \(P(X\leq k-1)\) |
| Au moins \(k\) | \(1-P(X\leq k-1)\) |
| Plus de \(k\) | \(1-P(X\leq k)\) |
| Entre \(a\) et \(b\), bornes comprises | \(P(X\leq b)-P(X\leq a-1)\) |
La calculatrice ne remplace pas la traduction de la phrase. Il faut toujours écrire, par exemple :
\[
P(X\geq5)=1-P(X\leq4)
\]
avant de donner la valeur numérique.
4. Exemple guidé avec la calculatrice
On considère :
\[
X\sim\mathcal B(30,0{,}12).
\]
a) Exactement 4 succès
\[
P(X=4)\approx\boxed{0{,}205}.
\]
b) Au plus 2 succès
\[
P(X\leq2)\approx\boxed{0{,}285}.
\]
c) Au moins 5 succès
\[
P(X\geq5)=1-P(X\leq4)\approx\boxed{0{,}288}.
\]
d) Entre 3 et 6 succès, bornes comprises
\[
P(3\leq X\leq6)=P(X\leq6)-P(X\leq2)
\]
et donc :
\[
\boxed{P(3\leq X\leq6)\approx0{,}655}.
\]
5. Arrondir correctement
Dans un calcul de probabilité, on conserve suffisamment de chiffres sur la calculatrice et on n'arrondit qu'à la fin du calcul.
Si une probabilité vaut par exemple
\[
0{,}288223\ldots,
\]
alors :
- au millième : \(0{,}288\) ;
- au centième : \(0{,}29\) ;
- en pourcentage au dixième près : \(28{,}8\,\%\).
6. Problème complet de modélisation
Une entreprise commercialise des capteurs. Un capteur a une probabilité de \(0{,}12\) de présenter un défaut. On prélève au hasard \(30\) capteurs dans des conditions assimilées à des tirages indépendants.
On appelle succès : « le capteur est défectueux ». Étape 2 — Paramètres \[ n=30,\qquad p=0{,}12. \] Étape 3 — Loi de \(X\) \[ \boxed{X\sim\mathcal B(30,0{,}12)}. \] Question : quelle est la probabilité d'obtenir au moins 5 capteurs défectueux ? On traduit : \[ P(X\geq5)=1-P(X\leq4). \] À la calculatrice : \[ P(X\geq5)\approx0{,}288223. \] Donc : \[ \boxed{P(X\geq5)\approx0{,}288}. \] Il y a donc environ 28,8 % de chances que le prélèvement contienne au moins \(5\) capteurs défectueux.
On note \(X\) le nombre de capteurs défectueux.
Étape 1 — SuccèsOn appelle succès : « le capteur est défectueux ». Étape 2 — Paramètres \[ n=30,\qquad p=0{,}12. \] Étape 3 — Loi de \(X\) \[ \boxed{X\sim\mathcal B(30,0{,}12)}. \] Question : quelle est la probabilité d'obtenir au moins 5 capteurs défectueux ? On traduit : \[ P(X\geq5)=1-P(X\leq4). \] À la calculatrice : \[ P(X\geq5)\approx0{,}288223. \] Donc : \[ \boxed{P(X\geq5)\approx0{,}288}. \] Il y a donc environ 28,8 % de chances que le prélèvement contienne au moins \(5\) capteurs défectueux.
7. Rédiger une conclusion
Une réponse complète comporte :
- la définition de la variable aléatoire ;
- la loi suivie par cette variable ;
- l'écriture probabiliste correspondant à la question ;
- le résultat numérique ;
- une phrase d'interprétation dans le contexte.
Exemple de rédaction :
« On note \(X\) le nombre de capteurs défectueux parmi les \(30\) capteurs prélevés. Les prélèvements étant assimilés à des épreuves indépendantes de même probabilité de succès \(p=0{,}12\), on a \[ X\sim\mathcal B(30,0{,}12). \] La probabilité d'obtenir au moins \(5\) capteurs défectueux est \[ P(X\geq5)=1-P(X\leq4)\approx0{,}288. \] Ainsi, la probabilité d'obtenir au moins \(5\) capteurs défectueux est d'environ \(28{,}8\,\%\). »
« On note \(X\) le nombre de capteurs défectueux parmi les \(30\) capteurs prélevés. Les prélèvements étant assimilés à des épreuves indépendantes de même probabilité de succès \(p=0{,}12\), on a \[ X\sim\mathcal B(30,0{,}12). \] La probabilité d'obtenir au moins \(5\) capteurs défectueux est \[ P(X\geq5)=1-P(X\leq4)\approx0{,}288. \] Ainsi, la probabilité d'obtenir au moins \(5\) capteurs défectueux est d'environ \(28{,}8\,\%\). »
8. Pièges fréquents
- Confondre « au moins » et « au plus ».
- Écrire \(1-P(X\leq k)\) pour \(P(X\geq k)\) : il faut utiliser \(1-P(X\leq k-1)\).
- Oublier de justifier l'indépendance des épreuves.
- Confondre \(p\) avec la probabilité de l'échec.
- Donner seulement une valeur de calculatrice sans écrire la probabilité calculée.
- Arrondir trop tôt dans un calcul intermédiaire.
9. À retenir
Pour résoudre un problème avec une loi binomiale :
\[
\boxed{\text{Modéliser }\longrightarrow\text{ Traduire }\longrightarrow\text{ Calculer }\longrightarrow\text{ Interpréter}}
\]
et toujours commencer par écrire :
\[
\boxed{X\sim\mathcal B(n,p)}.
\]
À toi de jouer
Un joueur réussit une épreuve avec une probabilité de \(0{,}18\). Il répète cette épreuve \(40\) fois de façon indépendante. On note \(X\) le nombre de succès obtenus.
1. Donner la loi suivie par \(X\).
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(8\) succès.
3. Calculer la probabilité d'obtenir au plus \(5\) succès.
4. Calculer la probabilité d'obtenir au moins \(10\) succès.
5. Calculer la probabilité d'obtenir entre \(4\) et \(9\) succès, bornes comprises.
6. Calculer et interpréter \(E(X)\).
1. Donner la loi suivie par \(X\).
2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(8\) succès.
3. Calculer la probabilité d'obtenir au plus \(5\) succès.
4. Calculer la probabilité d'obtenir au moins \(10\) succès.
5. Calculer la probabilité d'obtenir entre \(4\) et \(9\) succès, bornes comprises.
6. Calculer et interpréter \(E(X)\).
Afficher la correction
1.
\[ \boxed{X\sim\mathcal B(40,0{,}18)}. \]2.
\[ P(X=8) =\binom{40}{8}(0{,}18)^8(0{,}82)^{32} \approx\boxed{0{,}148}. \]3.
\[ \boxed{P(X\leq5)\approx0{,}250}. \]4.
\[ P(X\geq10)=1-P(X\leq9) \approx\boxed{0{,}170}. \]5.
\[ P(4\leq X\leq9) =P(X\leq9)-P(X\leq3) \approx\boxed{0{,}776}. \]6.
\[ E(X)=np=40\times0{,}18=7{,}2. \] Donc : \[ \boxed{E(X)=7{,}2}. \] Sur un grand nombre de séries de \(40\) épreuves, on obtient en moyenne \(7{,}2\) succès par série.