Lorsque \(X\sim\mathcal B(n,p)\), une question de probabilité doit d'abord être traduite correctement avec la variable \(X\). Il faut notamment distinguer « exactement », « au plus », « au moins » et « entre deux valeurs ».
1. « Exactement \(k\) succès »
L'expression « exactement \(k\) succès » correspond à :
\[
\boxed{P(X=k)}.
\]
On utilise alors :
\[
\boxed{P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}}.
\]
Exemple. Si \(X\sim\mathcal B(12,0{,}3)\), la probabilité d'obtenir exactement \(4\) succès est :
\[
P(X=4)=\binom{12}{4}(0{,}3)^4(0{,}7)^8\approx\boxed{0{,}231}.
\]
2. « Au plus \(k\) succès »
« Au plus \(k\) » signifie « \(k\) ou moins » :
\[
\boxed{P(X\leq k)}.
\]
Comme \(X\) prend des valeurs entières :
\[
P(X\leq k)=P(X=0)+P(X=1)+\cdots+P(X=k).
\]
Pour \(X\sim\mathcal B(12,0{,}3)\) :
\[
P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).
\]
À la calculatrice :
\[
\boxed{P(X\leq2)\approx0{,}253}.
\]
3. « Au moins \(k\) succès »
« Au moins \(k\) » signifie « \(k\) ou plus » :
\[
\boxed{P(X\geq k)}.
\]
Il est souvent plus rapide d'utiliser l'événement contraire :
\[
\boxed{P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)}.
\]
Toujours avec \(X\sim\mathcal B(12,0{,}3)\) :
\[
P(X\geq4)=1-P(X\leq3).
\]
On obtient :
\[
\boxed{P(X\geq4)\approx0{,}507}.
\]
Piège classique :
\[
P(X\geq k)\neq1-P(X\leq k).
\]
Le complémentaire de \(\{X\geq k\}\) est \(\{X\leq k-1\}\).
4. « Strictement plus de \(k\) succès »
\[
X>k
\]
équivaut, puisque \(X\) est entière, à
\[
X\geq k+1.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X>k)=1-P(X\leq k)}.
\]
5. « Strictement moins de \(k\) succès »
\[
X
6. Probabilité entre deux valeurs
Pour deux entiers \(a\) et \(b\) tels que \(a\leq b\) :
\[
P(a\leq X\leq b)
=P(X\leq b)-P(X\leq a-1).
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a-1)}.
\]
Si \(X\sim\mathcal B(12,0{,}3)\), alors :
\[
P(2\leq X\leq5)=P(X\leq5)-P(X\leq1).
\]
On obtient :
\[
\boxed{P(2\leq X\leq5)\approx0{,}797}.
\]
7. Tableau de traduction
| Expression | Écriture probabiliste |
|---|---|
| Exactement \(k\) | \(P(X=k)\) |
| Au plus \(k\) | \(P(X\leq k)\) |
| Moins de \(k\) | \(P(X\leq k-1)\) |
| Au moins \(k\) | \(P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)\) |
| Plus de \(k\) | \(P(X>k)=1-P(X\leq k)\) |
| Entre \(a\) et \(b\), bornes comprises | \(P(a\leq X\leq b)\) |
8. Utiliser la calculatrice
Pour une loi binomiale, la calculatrice permet généralement de calculer directement :
- \(P(X=k)\) : probabilité ponctuelle ;
- \(P(X\leq k)\) : probabilité cumulée.
Conseil. Même lorsqu'on utilise la calculatrice, il faut toujours écrire d'abord la probabilité recherchée, par exemple :
\[
P(X\geq7)=1-P(X\leq6),
\]
puis seulement donner la valeur numérique.
9. Exemple complet
Une entreprise sait que \(8\,\%\) des pièces qu'elle fabrique présentent un défaut. On prélève \(25\) pièces dans des conditions assimilées à des tirages indépendants. \(X\) désigne le nombre de pièces défectueuses.
Alors :
\[ \boxed{X\sim\mathcal B(25,0{,}08)}. \]a) Exactement deux pièces défectueuses
\[ P(X=2)=\binom{25}{2}(0{,}08)^2(0{,}92)^{23}\approx\boxed{0{,}282}. \]b) Au plus deux pièces défectueuses
\[ P(X\leq2)\approx\boxed{0{,}677}. \]c) Au moins trois pièces défectueuses
\[ P(X\geq3)=1-P(X\leq2)\approx\boxed{0{,}323}. \]10. À retenir
Exactement\[\boxed{P(X=k)}\]
Au plus\[\boxed{P(X\leq k)}\]
Au moins\[\boxed{P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)}\]
Entre \(a\) et \(b\)\[\boxed{P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a-1)}\]
À toi de jouer
On considère \(X\sim\mathcal B(20,0{,}4)\). Traduire chaque phrase par une probabilité portant sur \(X\), puis calculer sa valeur.
1. Obtenir exactement \(8\) succès.
2. Obtenir au plus \(6\) succès.
3. Obtenir au moins \(10\) succès.
4. Obtenir entre \(5\) et \(9\) succès, bornes comprises.
1. Obtenir exactement \(8\) succès.
2. Obtenir au plus \(6\) succès.
3. Obtenir au moins \(10\) succès.
4. Obtenir entre \(5\) et \(9\) succès, bornes comprises.
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1.
\[ P(X=8)=\binom{20}{8}(0{,}4)^8(0{,}6)^{12}\approx\boxed{0{,}180}. \]2.
\[ \boxed{P(X\leq6)\approx0{,}250}. \]3.
\[ P(X\geq10)=1-P(X\leq9)\approx\boxed{0{,}245}. \]4.
\[ P(5\leq X\leq9)=P(X\leq9)-P(X\leq4)\approx\boxed{0{,}704}. \]