De nombreuses expériences aléatoires n'ont que deux issues possibles : réussir ou échouer, gagner ou perdre, être conforme ou défectueux… Elles constituent le point de départ de la loi binomiale.
1. Épreuve de Bernoulli
Définition. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne possède que deux issues, appelées :
- le succès, noté généralement \(S\) ;
- l'échec, noté \(\overline S\).
Succès \(S\)
\(P(S)=p\)
\(P(S)=p\)
Échec \(\overline S\)
\(P(\overline S)=1-p\)
\(P(\overline S)=1-p\)
Important. Les mots « succès » et « échec » sont seulement des conventions. Le succès est l'événement que l'on choisit d'étudier, même s'il correspond dans la réalité à une situation défavorable, par exemple « obtenir une pièce défectueuse ».
Exemple
Une entreprise fabrique des composants. On sait que \(3\,\%\) des composants sont défectueux. On choisit un composant au hasard et on appelle succès l'événement \(S\) : « le composant est défectueux ».
\[
P(S)=0{,}03
\]
et
\[
P(\overline S)=1-0{,}03=0{,}97.
\]
Cette expérience est une épreuve de Bernoulli de paramètre \(\boxed{p=0{,}03}\).
2. Variable aléatoire de Bernoulli
À une épreuve de Bernoulli, on associe naturellement une variable aléatoire \(X\) qui code le résultat obtenu :
\[
X=\begin{cases}
1 & \text{en cas de succès},\\
0 & \text{en cas d'échec}.
\end{cases}
\]
3. Loi de Bernoulli
Définition. Une variable aléatoire \(X\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p\) lorsqu'elle prend les valeurs \(1\) et \(0\) avec :
\[
P(X=1)=p
\qquad\text{et}\qquad
P(X=0)=1-p.
\]
On note :
\[
\boxed{X\sim\mathcal B(p)}.
\]
| \(x_i\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(p_i=P(X=x_i)\) | \(1-p\) | \(p\) |
À ne pas confondre. Ici, \(\mathcal B(p)\) désigne une loi de Bernoulli. Plus tard, la notation \(\mathcal B(n,p)\) désignera une loi binomiale.
4. Espérance d'une loi de Bernoulli
En utilisant la formule \(E(X)=\sum p_ix_i\) :
\[
E(X)=(1-p)\times0+p\times1
\]
donc
\[
\boxed{E(X)=p}.
\]
Si l'on répète un très grand nombre de fois la même épreuve de Bernoulli, la fréquence des succès se rapproche de \(p\).
5. Variance et écart-type
Comme \(X\) ne prend que les valeurs \(0\) et \(1\), on a \(X^2=X\). Ainsi :
\[ E(X^2)=E(X)=p. \]Avec \(V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\), on obtient :
\[
V(X)=p-p^2=p(1-p)
\]
donc
\[
\boxed{V(X)=p(1-p)}.
\]
Puis :
\[
\boxed{\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}}.
\]
6. Exemple complet
On lance un dé équilibré à six faces. On considère comme succès l'événement :
\[
S:\text{ « obtenir un 6 »}.
\]
Alors
\[
p=P(S)=\frac16.
\]
Si \(X=1\) lorsque le résultat est 6 et \(X=0\) sinon, alors :
\[
\boxed{X\sim\mathcal B\left(\frac16\right)}.
\]
Sa loi est :
et
\[
E(X)=\frac16,\qquad
V(X)=\frac16\times\frac56=\frac5{36},
\qquad
\sigma(X)=\frac{\sqrt5}{6}.
\]
| \(x_i\) | \(0\) | \(1\) |
|---|---|---|
| \(p_i\) | \(\frac56\) | \(\frac16\) |
7. À retenir
Pour une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\) :
\[
P(S)=p,\qquad P(\overline S)=1-p.
\]
Pour \(X\sim\mathcal B(p)\) :
\[
\boxed{P(X=1)=p},\qquad \boxed{P(X=0)=1-p},
\]
\[
\boxed{E(X)=p},\qquad
\boxed{V(X)=p(1-p)},\qquad
\boxed{\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}}.
\]
À toi de jouer
Une urne contient \(7\) boules rouges et \(3\) boules bleues. On tire une boule au hasard. On appelle succès l'événement \(S\) : « obtenir une boule bleue ». On définit \(X=1\) en cas de succès et \(X=0\) sinon.
1. Justifier qu'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli et donner son paramètre \(p\).
2. Donner la loi de \(X\).
3. Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
1. Justifier qu'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli et donner son paramètre \(p\).
2. Donner la loi de \(X\).
3. Calculer \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\).
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1. Il n'y a que deux issues : obtenir une boule bleue (succès) ou ne pas obtenir une boule bleue (échec). Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli.
\[ p=P(S)=\frac3{10}=0{,}3. \]2. Ainsi :
\[ \boxed{X\sim\mathcal B(0{,}3)} \] et \[ P(X=1)=0{,}3,\qquad P(X=0)=0{,}7. \]3.
\[ \boxed{E(X)=0{,}3} \] \[ \boxed{V(X)=0{,}3\times0{,}7=0{,}21} \] \[ \boxed{\sigma(X)=\sqrt{0{,}21}\approx0{,}458}. \]