Si \(X\sim\mathcal B(n,p)\), les trois nombres \(E(X)\), \(V(X)\) et \(\sigma(X)\) permettent de décrire de manière synthétique le nombre de succès obtenu : sa valeur moyenne et sa dispersion autour de cette moyenne.
1. Les trois formules à connaître
Espérance
\[
\boxed{E(X)=np}
\]
Variance
\[
\boxed{V(X)=np(1-p)}
\]
Écart-type
\[
\boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}}
\]
Si
\[
\boxed{X\sim\mathcal B(n,p)},
\]
alors :
\[
\boxed{E(X)=np},\qquad
\boxed{V(X)=np(1-p)},\qquad
\boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}}.
\]
2. Interpréter l'espérance
L'espérance
\[
E(X)=np
\]
représente le nombre moyen de succès que l'on obtient lorsque l'on répète un très grand nombre de fois le même schéma de Bernoulli.
Attention. L'espérance n'est pas nécessairement une valeur que \(X\) peut réellement prendre. Par exemple, si \(E(X)=3{,}6\), cela ne signifie pas que l'on peut obtenir \(3{,}6\) succès : il s'agit d'une moyenne théorique.
Exemple
On considère :
\[
X\sim\mathcal B(50,0{,}12).
\]
Alors :
\[
E(X)=50\times0{,}12=6.
\]
Donc :
\[
\boxed{E(X)=6}.
\]
Sur un grand nombre de séries de \(50\) épreuves, on obtient en moyenne 6 succès par série.
3. Interpréter la variance et l'écart-type
La variance et l'écart-type mesurent la dispersion du nombre de succès autour de l'espérance.
Pour \(X\sim\mathcal B(n,p)\) :
\[
V(X)=np(1-p)
\]
et
\[
\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.
\]
Plus \(\sigma(X)\) est grand, plus le nombre de succès observé peut s'écarter de la valeur moyenne \(E(X)\).
Pour
\[
X\sim\mathcal B(50,0{,}12),
\]
on a :
\[
V(X)=50\times0{,}12\times0{,}88=5{,}28.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{V(X)=5{,}28}.
\]
Puis :
\[
\sigma(X)=\sqrt{5{,}28}\approx2{,}30.
\]
Donc :
\[
\boxed{\sigma(X)\approx2{,}30}.
\]
4. Pourquoi \(E(X)=np\) ?
Dans un schéma de Bernoulli comportant \(n\) épreuves, on peut introduire \(n\) variables de Bernoulli :
\[ X_1,\;X_2,\;\ldots,\;X_n, \]où \(X_i=1\) si la \(i\)-ème épreuve est un succès et \(X_i=0\) sinon.
Le nombre total de succès est alors :
\[ X=X_1+X_2+\cdots+X_n. \]Or chaque \(X_i\) suit une loi de Bernoulli de paramètre \(p\), donc :
\[ E(X_i)=p. \]Par linéarité de l'espérance :
\[ E(X) =E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n). \] Donc : \[ E(X)=\underbrace{p+p+\cdots+p}_{n\text{ fois}}, \] d'où :
\[
\boxed{E(X)=np}.
\]
5. Pourquoi \(V(X)=np(1-p)\) ?
Les variables \(X_1,\ldots,X_n\) sont indépendantes et chacune vérifie :
\[ V(X_i)=p(1-p). \]La variance d'une somme de variables aléatoires indépendantes est la somme de leurs variances :
\[ V(X) =V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_n). \] Ainsi : \[ V(X) =\underbrace{p(1-p)+\cdots+p(1-p)}_{n\text{ fois}}, \] donc :
\[
\boxed{V(X)=np(1-p)}.
\]
6. Deux lois peuvent avoir la même espérance
Deux lois binomiales peuvent avoir la même espérance mais des dispersions différentes.
Première loi
\[
X\sim\mathcal B(20,0{,}5)
\]
\[
E(X)=20\times0{,}5=10
\]
\[
V(X)=20\times0{,}5\times0{,}5=5
\]
\[
\sigma(X)=\sqrt5\approx2{,}24
\]
Deuxième loi
\[
Y\sim\mathcal B(100,0{,}1)
\]
\[
E(Y)=100\times0{,}1=10
\]
\[
V(Y)=100\times0{,}1\times0{,}9=9
\]
\[
\sigma(Y)=3
\]
Les deux variables ont la même espérance :
\[
E(X)=E(Y)=10,
\]
mais \(Y\) est davantage dispersée car :
\[
\sigma(Y)>\sigma(X).
\]
7. Exemple complet
Une entreprise produit des composants électroniques. La probabilité qu'un composant soit défectueux est \(0{,}03\). On contrôle \(200\) composants dans des conditions assimilées à des épreuves indépendantes.
On note \(X\) le nombre de composants défectueux.
Alors : \[ \boxed{X\sim\mathcal B(200,0{,}03)}. \] Espérance : \[ E(X)=200\times0{,}03=6. \] Ainsi : \[ \boxed{E(X)=6}. \] On s'attend donc, en moyenne, à trouver 6 composants défectueux parmi \(200\). Variance : \[ V(X)=200\times0{,}03\times0{,}97=5{,}82. \] Donc : \[ \boxed{V(X)=5{,}82}. \] Écart-type : \[ \sigma(X)=\sqrt{5{,}82}\approx2{,}41. \] Ainsi : \[ \boxed{\sigma(X)\approx2{,}41}. \]8. Retrouver un paramètre
Comme
\[
E(X)=np,
\]
si \(n\) et \(E(X)\) sont connus, on peut retrouver \(p\) grâce à :
\[
\boxed{p=\frac{E(X)}{n}}.
\]
On sait que :
\[
X\sim\mathcal B(40,p)
\]
et que
\[
E(X)=14.
\]
Alors :
\[
40p=14,
\]
donc :
\[
\boxed{p=\frac{14}{40}=0{,}35}.
\]
9. À retenir
Pour \(X\sim\mathcal B(n,p)\) :
\[
\boxed{E(X)=np}
\]
donne le nombre moyen de succès,
\[
\boxed{V(X)=np(1-p)}
\]
mesure la dispersion au carré, et
\[
\boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}}
\]
mesure la dispersion dans la même unité que \(X\).
À toi de jouer
On considère une variable aléatoire
\[
X\sim\mathcal B(80,0{,}15).
\]
1. Calculer \(E(X)\).
2. Calculer \(V(X)\).
3. Calculer \(\sigma(X)\), arrondi au centième.
4. Interpréter l'espérance dans le contexte d'un nombre de succès.
2. Calculer \(V(X)\).
3. Calculer \(\sigma(X)\), arrondi au centième.
4. Interpréter l'espérance dans le contexte d'un nombre de succès.
Afficher la correction
1. Espérance
\[ E(X)=80\times0{,}15=12. \] Donc : \[ \boxed{E(X)=12}. \]2. Variance
\[ V(X)=80\times0{,}15\times0{,}85. \] Ainsi : \[ \boxed{V(X)=10{,}2}. \]3. Écart-type
\[ \sigma(X)=\sqrt{10{,}2}\approx3{,}19. \] Donc : \[ \boxed{\sigma(X)\approx3{,}19}. \]4. Interprétation
Sur un grand nombre de séries de \(80\) épreuves, on obtient en moyenne : \[ \boxed{12\text{ succès par série}}. \]