À partir de la loi de probabilité d'une variable aléatoire \(X\), on peut calculer plusieurs nombres qui résument son comportement : l'espérance, la variance et l'écart-type.
1. Espérance d'une variable aléatoire
Définition. Si \(X\) prend les valeurs \(x_1,\ldots,x_n\), alors
\[\boxed{E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_iP(X=x_i)}.\]
En notant
\[
p_i=P(X=x_i),
\]
on obtient la formule simplifiée :
\[
\boxed{E(X)=\sum_{i=1}^{n}p_ix_i}.
\]
Interprétation. Lorsque l'expérience est répétée un très grand nombre de fois dans les mêmes conditions, la moyenne des valeurs observées de \(X\) tend à se rapprocher de \(E(X)\).
Exemple. On considère la loi :
\[E(X)=(-2)\frac12+1\frac13+4\frac16=-1+\frac13+\frac23=0.\]
Donc \(\boxed{E(X)=0}\). Si \(X\) représente le gain algébrique d'un joueur, le jeu est équitable.
| \(x_i\) | \(-2\) | \(1\) | \(4\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac12\) | \(\frac13\) | \(\frac16\) |
Pour un jeu d'argent :
- \(E(X)>0\) : jeu favorable au joueur en moyenne ;
- \(E(X)=0\) : jeu équitable ;
- \(E(X)<0\) : jeu défavorable au joueur en moyenne.
2. Variance
L'espérance décrit une valeur moyenne. La variance permet de mesurer la dispersion des valeurs autour de cette moyenne.
\[
\boxed{V(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-E(X))^2P(X=x_i)}.
\]
En notant \(p_i=P(X=x_i)\), cette formule s'écrit plus simplement :
\[
\boxed{V(X)=\sum_{i=1}^{n}p_i(x_i-E(X))^2}.
\]
On utilise souvent la formule :
\[\boxed{V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2}\]
avec
\[
E(X^2)=\sum_{i=1}^{n}x_i^2P(X=x_i).
\]
En utilisant \(p_i=P(X=x_i)\) :
\[
\boxed{E(X^2)=\sum_{i=1}^{n}p_ix_i^2}.
\]
Dans l'exemple précédent :
\[E(X^2)=4\frac12+1\frac13+16\frac16=2+\frac13+\frac83=5.\]
Comme \(E(X)=0\),
\[V(X)=5-0^2,\qquad\boxed{V(X)=5}.\]
3. Écart-type
\[\boxed{\sigma(X)=\sqrt{V(X)}}.\]
Ici : \[\boxed{\sigma(X)=\sqrt5\approx2{,}24}.\]
Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs de \(X\) sont dispersées autour de l'espérance.
4. Transformation affine
Pour \(Y=aX+b\) :
\[\boxed{E(aX+b)=aE(X)+b}\]
\[\boxed{V(aX+b)=a^2V(X)}\]
et donc
\[\boxed{\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)}.\]
Attention. Ajouter une constante ne modifie pas la dispersion : \[V(X+b)=V(X).\]
5. À retenir
- Calculer \(E(X)\) et l'interpréter.
- Calculer \(E(X^2)\).
- Utiliser \(V(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\).
- Calculer \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).
- Connaître les formules pour \(aX+b\).
À toi de jouer
| \(x_i\) | \(-1\) | \(2\) | \(5\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac12\) | \(\frac13\) | \(\frac16\) |
2. Calculer \(E(X^2)\), puis \(V(X)\).
3. En déduire \(\sigma(X)\).