La loi binomiale permet de modéliser le nombre de succès obtenus lorsqu'on répète plusieurs fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli.
1. Définition
On considère un schéma de Bernoulli constitué de \(n\) épreuves indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès \(p\). On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus au cours des \(n\) épreuves.
Alors \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).
\[ \boxed{X\sim\mathcal B(n,p)}. \]- \(n\) est le nombre d'épreuves ;
- \(p\) est la probabilité du succès à chaque épreuve ;
- \(X\) est le nombre de succès obtenus.
2. Probabilité d'obtenir exactement \(k\) succès
Pour obtenir exactement \(k\) succès :
- chaque succession précise comportant \(k\) succès et \(n-k\) échecs a pour probabilité \(p^k(1-p)^{n-k}\) ;
- il existe \(\binom nk\) successions de ce type.
Pour tout entier \(k\) tel que \(0\leq k\leq n\) :
\[
\boxed{P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{\,n-k}}.
\]
Traduction essentielle :
\[
P(X=k)
\]
est la probabilité d'obtenir exactement \(k\) succès parmi les \(n\) épreuves.
3. Exemple : lancer un dé
On lance \(10\) fois un dé équilibré. On appelle succès « obtenir un 6 » et \(X\) désigne le nombre de 6 obtenus.
On a :
\[ n=10,\qquad p=\frac16, \] donc \[ \boxed{X\sim\mathcal B\left(10,\frac16\right)}. \]La probabilité d'obtenir exactement \(2\) fois le nombre 6 est :
\[ P(X=2)=\binom{10}{2}\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^8. \] Comme \[ \binom{10}{2}=45, \] on obtient : \[ P(X=2)=45\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^8 \approx\boxed{0{,}291}. \]4. Cas particuliers utiles
Aucun succès
\[
P(X=0)=(1-p)^n
\]
Tous les essais réussis
\[
P(X=n)=p^n
\]
Au moins un succès
\[
P(X\geq1)=1-(1-p)^n
\]
Pourquoi le dernier résultat ? L'événement contraire de « obtenir au moins un succès » est « n'obtenir aucun succès ». Ainsi :
\[
P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n.
\]
5. Espérance
Si \(X\sim\mathcal B(n,p)\), alors :
\[
\boxed{E(X)=np}.
\]
L'espérance \(np\) représente le nombre moyen de succès que l'on peut attendre lorsque l'expérience complète est répétée un très grand nombre de fois.
Dans l'exemple du dé :
\[
E(X)=10\times\frac16=\frac53\approx1{,}67.
\]
Sur un grand nombre de séries de \(10\) lancers, on obtient donc en moyenne environ \(1{,}67\) six par série.
6. Variance et écart-type
Si \(X\sim\mathcal B(n,p)\), alors :
\[
\boxed{V(X)=np(1-p)}
\]
et
\[
\boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}}.
\]
Toujours pour \(X\sim\mathcal B\left(10,\frac16\right)\) :
\[
V(X)=10\times\frac16\times\frac56=\frac{25}{18}\approx1{,}39,
\]
puis
\[
\sigma(X)=\sqrt{\frac{25}{18}}=\frac{5\sqrt2}{6}\approx1{,}18.
\]
7. La loi de probabilité de \(X\)
La loi de \(X\) est constituée de toutes les probabilités :
\[ P(X=0),\;P(X=1),\;\ldots,\;P(X=n). \]La somme de toutes ces probabilités vaut \(1\) :
\[
\boxed{\sum_{k=0}^{n}P(X=k)=1}.
\]
Autrement dit :
\[
\boxed{\sum_{k=0}^{n}\binom nkp^k(1-p)^{n-k}=1}.
\]
8. Méthode pour résoudre un problème
- Définir clairement le succès.
- Justifier qu'on a un schéma de Bernoulli.
- Identifier \(n\) et \(p\).
- Définir \(X\) comme le nombre de succès.
- Écrire : \[ X\sim\mathcal B(n,p). \]
- Traduire la question en une probabilité portant sur \(X\).
- Effectuer le calcul demandé.
9. Exemple de modélisation
Dans une production, \(4\,\%\) des pièces sont défectueuses. On prélève au hasard \(20\) pièces dans des conditions assimilées à des tirages indépendants. On note \(X\) le nombre de pièces défectueuses obtenues.
Le succès est « la pièce est défectueuse », donc :
\[ p=0{,}04,\qquad n=20. \] Ainsi : \[ \boxed{X\sim\mathcal B(20,0{,}04)}. \]La probabilité de n'obtenir aucune pièce défectueuse est :
\[ P(X=0)=0{,}96^{20}\approx0{,}442. \]La probabilité d'obtenir au moins une pièce défectueuse est donc :
\[ P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0{,}96^{20}\approx\boxed{0{,}558}. \]10. À retenir
Si
\[
\boxed{X\sim\mathcal B(n,p)},
\]
alors, pour \(0\leq k\leq n\),
\[
\boxed{P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}},
\]
et
\[
\boxed{E(X)=np},\qquad
\boxed{V(X)=np(1-p)},\qquad
\boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}}.
\]
À toi de jouer
Un basketteur réussit un lancer franc avec une probabilité de \(0{,}8\). On suppose ses lancers indépendants. Il effectue \(12\) lancers francs et \(X\) désigne le nombre de lancers réussis.
1. Donner la loi suivie par \(X\).
2. Calculer \(P(X=10)\).
3. Calculer la probabilité qu'il réussisse au moins un lancer.
4. Calculer et interpréter \(E(X)\).
1. Donner la loi suivie par \(X\).
2. Calculer \(P(X=10)\).
3. Calculer la probabilité qu'il réussisse au moins un lancer.
4. Calculer et interpréter \(E(X)\).
Afficher la correction
1. Il s'agit de \(12\) épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre \(p=0{,}8\). Donc :
\[ \boxed{X\sim\mathcal B(12,0{,}8)}. \]2.
\[ P(X=10)=\binom{12}{10}(0{,}8)^{10}(0{,}2)^2 \approx\boxed{0{,}283}. \]3.
\[ P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-(0{,}2)^{12} \approx\boxed{1}. \]4.
\[ E(X)=np=12\times0{,}8=\boxed{9{,}6}. \] Sur un grand nombre de séries de \(12\) lancers, le basketteur réussira en moyenne \(9{,}6\) lancers par série.