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Après avoir étudié une seule épreuve de Bernoulli, on s'intéresse maintenant à la répétition de cette même épreuve. C'est cette situation qui conduit naturellement à la loi binomiale.
1. Répétition d'une épreuve de Bernoulli
Définition. Un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\) est la répétition de \(n\) épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès égale à \(p\).
\(n\)
nombre d'épreuves
\(p\)
probabilité du succès à chaque épreuve
\(1-p\)
probabilité de l'échec
Deux conditions essentielles :
- la probabilité du succès doit rester la même à chaque répétition ;
- les épreuves doivent être indépendantes.
Exemple
On lance \(4\) fois un dé équilibré. À chaque lancer, on appelle succès l'événement « obtenir un 6 ».
Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre :
\[
p=\frac16.
\]
Les lancers sont indépendants et la probabilité du succès reste identique. On obtient donc un schéma de Bernoulli de paramètres :
\[
\boxed{n=4\qquad\text{et}\qquad p=\frac16}.
\]
2. Représentation par un arbre
Pour un petit nombre de répétitions, un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre pondéré.
À chaque étape, les deux branches sont toujours :
\[
S\quad\text{de probabilité }p
\qquad\text{et}\qquad
\overline S\quad\text{de probabilité }1-p.
\]
Chaque chemin de l'arbre correspond à une succession précise de succès et d'échecs.
Règle du produit. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités inscrites sur ses branches.
Exemple avec trois épreuves
Considérons trois épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\). La probabilité d'obtenir successivement
\[
S,\quad \overline S,\quad S
\]
est :
\[
p\times(1-p)\times p
\]
soit
\[
\boxed{p^2(1-p)}.
\]
3. Probabilité d'une succession comportant \(k\) succès
Dans un schéma de Bernoulli comportant \(n\) épreuves, considérons une succession précise contenant :
- \(k\) succès ;
- \(n-k\) échecs.
La probabilité de cette succession précise est :
\[
\boxed{p^k(1-p)^{\,n-k}}.
\]
Exemple. On répète \(5\) fois une épreuve de Bernoulli de paramètre \(p=0{,}3\). La probabilité de la succession
\[
S-S-\overline S-S-\overline S
\]
est :
\[
0{,}3^3\times0{,}7^2.
\]
En effet, cette succession contient \(3\) succès et \(2\) échecs.
Attention : \(p^k(1-p)^{n-k}\) donne la probabilité d'une succession précise de \(k\) succès et \(n-k\) échecs. Il existe généralement plusieurs successions comportant exactement \(k\) succès.
4. Combien de chemins comportent exactement \(k\) succès ?
Pour obtenir exactement \(k\) succès parmi \(n\) épreuves, il faut choisir les \(k\) positions occupées par les succès parmi les \(n\) positions disponibles.
Le nombre de façons de choisir \(k\) positions parmi \(n\) est le coefficient binomial :
\[
\boxed{\binom nk}.
\]
Il y a donc \(\binom nk\) chemins comportant exactement \(k\) succès.
Pour \(n=4\) et \(k=2\), il existe :
\[
\binom42=6
\]
successions contenant exactement deux succès :
\[
SS\overline S\overline S,\quad
S\overline SS\overline S,\quad
S\overline S\overline SS,\quad
\overline SSS\overline S,\quad
\overline SS\overline SS,\quad
\overline S\overline SSS.
\]
5. Vers la loi binomiale
On note maintenant \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus au cours des \(n\) épreuves.
Ainsi, \(X\) peut prendre les valeurs :
\[
0,\;1,\;2,\;\ldots,\;n.
\]
L'événement \(\{X=k\}\) signifie : « obtenir exactement \(k\) succès parmi les \(n\) épreuves ».
Il existe \(\binom nk\) chemins donnant exactement \(k\) succès et chacun possède la même probabilité \(p^k(1-p)^{n-k}\). On obtient donc :
\[
\boxed{P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}}.
\]
Cette formule est la formule fondamentale de la loi binomiale. Elle sera étudiée en détail dans la partie suivante.
6. Reconnaître un schéma de Bernoulli
Pour justifier qu'une situation constitue un schéma de Bernoulli, on vérifie :
- qu'une même expérience est répétée \(n\) fois ;
- que chaque expérience possède deux issues : succès ou échec ;
- que la probabilité du succès est toujours \(p\) ;
- que les répétitions sont indépendantes.
On identifie ensuite les deux paramètres \(\boxed{n}\) et \(\boxed{p}\).
À toi de jouer
Un joueur tire au hasard une carte, note si elle est un cœur, puis remet la carte dans le jeu et mélange. Il effectue cette expérience \(6\) fois. On appelle succès « obtenir un cœur ».
1. Justifier que cette expérience constitue un schéma de Bernoulli.
2. Donner les paramètres \(n\) et \(p\).
3. Calculer la probabilité de la succession \(S-S-\overline S-S-\overline S-\overline S\).
4. Combien existe-t-il de successions comportant exactement \(3\) succès ?
Afficher la correction
1. On répète \(6\) fois la même épreuve à deux issues. La carte étant remise dans le jeu après chaque tirage, les tirages sont indépendants et la probabilité d'obtenir un cœur reste constante.
2. Dans un jeu de \(52\) cartes, il y a \(13\) cœurs :
\[
p=\frac{13}{52}=\frac14.
\]
Donc :
\[
\boxed{n=6\qquad\text{et}\qquad p=\frac14}.
\]
3. La succession contient \(3\) succès et \(3\) échecs :
\[
P=\left(\frac14\right)^3\left(\frac34\right)^3
=\boxed{\frac{27}{4096}}.
\]
4. Le nombre de successions comportant exactement \(3\) succès est :
\[
\boxed{\binom63=20}.
\]