Dans une expérience aléatoire, on peut associer un nombre réel à chacun des résultats possibles. On obtient ainsi une variable aléatoire.
1. Variable aléatoire
Définition. Soit \(\Omega\) l'univers d'une expérience aléatoire. Une variable aléatoire réelle \(X\) définie sur \(\Omega\) est une fonction qui, à chaque issue \(\omega\), associe un nombre réel \(X(\omega)\).
Exemple — Jeu de dé.
On lance un dé équilibré. On gagne 4 € si le résultat est 6, 1 € si le résultat est pair mais différent de 6, et on perd 2 € si le résultat est impair. On note \(X\) le gain algébrique.
\[X(1)=X(3)=X(5)=-2,\quad X(2)=X(4)=1,\quad X(6)=4.\]Ainsi, \(X\) prend les valeurs \(\boxed{-2,1,4}\).
2. Événements liés à une variable aléatoire
L'écriture \(X=a\) désigne l'événement formé des issues pour lesquelles la variable prend la valeur \(a\).
Dans l'exemple : \[\{X=-2\}=\{1,3,5\},\quad \{X=1\}=\{2,4\},\quad \{X=4\}=\{6\}.\]Donc \[P(X=-2)=\frac12,\quad P(X=1)=\frac13,\quad P(X=4)=\frac16.\]
3. Loi de probabilité
Définition. Donner la loi de probabilité de \(X\), c'est donner, pour chacune des valeurs \(x_i\) prises par \(X\), la probabilité \(P(X=x_i)\).
| \(x_i\) | \(-2\) | \(1\) | \(4\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac12\) | \(\frac13\) | \(\frac16\) |
Propriété. Les probabilités sont positives et leur somme vaut 1 : \[\boxed{\sum_i P(X=x_i)=1}.\]
4. Calculer la probabilité d'un événement
On additionne les probabilités correspondant aux valeurs qui vérifient la condition.
Exemple. \[P(X\ge1)=P(X=1)+P(X=4)=\frac13+\frac16=\boxed{\frac12}.\]
Attention. Une issue de l'expérience et une valeur prise par \(X\) sont deux notions différentes : plusieurs issues peuvent conduire à la même valeur de \(X\).
5. Méthode à retenir
- Identifier toutes les valeurs possibles de \(X\).
- Déterminer les issues correspondant à chacune.
- Calculer chaque \(P(X=x_i)\).
- Présenter la loi dans un tableau.
- Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
À toi de jouer
Une urne contient 2 boules rouges et 3 boules bleues. On tire une boule au hasard. Le joueur gagne 3 € si elle est rouge et perd 2 € si elle est bleue. On note \(X\) son gain.
- Quelles sont les valeurs prises par \(X\) ?
- Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
- Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
Afficher la correction
\(X\) prend les valeurs \(-2\) et \(3\).
\[P(X=-2)=\frac35,\qquad P(X=3)=\frac25.\]| \(x_i\) | \(-2\) | \(3\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac35\) | \(\frac25\) |