1Une roue de jeu
Une roue équilibrée est partagée en \(8\) secteurs de même taille. Les gains associés aux secteurs sont :
| Gain (en €) | \(-4\) | \(-2\) | \(0\) | \(3\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de secteurs | 1 | 2 | 2 | 2 | 1 |
On note \(X\) le gain algébrique obtenu lors d'une partie.
- Donner l'ensemble des valeurs prises par \(X\).
- Déterminer la loi de probabilité de \(X\).
- Calculer \(P(X\geq0)\).
- Calculer l'espérance \(E(X)\) et interpréter le résultat.
2Loi de probabilité à compléter
Une variable aléatoire \(Y\) prend les valeurs \(-2\), \(1\), \(3\) et \(6\). Sa loi est partiellement donnée :
| \(y_i\) | \(-2\) | \(1\) | \(3\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|
| \(P(Y=y_i)\) | \(0{,}15\) | \(0{,}35\) | \(0{,}30\) | \(p\) |
- Déterminer \(p\).
- Calculer \(P(Y\leq1)\).
- Calculer \(E(Y)\).
- Calculer \(V(Y)\), puis \(\sigma(Y)\). Arrondir l'écart-type au centième.
3Jeu équitable ?
Un sac contient \(5\) boules rouges, \(3\) boules bleues et \(2\) boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
Le joueur gagne \(4\) € si la boule est rouge, gagne \(8\) € si elle est bleue et perd \(x\) € si elle est verte. On note \(G\) le gain algébrique du joueur.
- Déterminer la loi de probabilité de \(G\).
- Exprimer \(E(G)\) en fonction de \(x\).
- Déterminer \(x\) pour que le jeu soit équitable.
- Pour \(x=10\), le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.
4Comparer deux stratégies
Deux jeux donnent les gains algébriques suivants.
Jeu A :
| Gain \(A\) | \(-2\) | \(2\) | \(6\) |
|---|---|---|---|
| Probabilité | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
Jeu B :
| Gain \(B\) | \(-4\) | \(2\) | \(8\) |
|---|---|---|---|
| Probabilité | \(0{,}25\) | \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
- Calculer \(E(A)\) et \(E(B)\).
- Calculer \(V(A)\) et \(V(B)\).
- Les deux jeux ont-ils le même gain moyen ?
- Lequel présente la plus grande dispersion des gains ? Interpréter.
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Exercice 1
1. \(X\) peut prendre les valeurs \(\{-4;-2;0;3;5\}\).
2.
| \(x_i\) | \(-4\) | \(-2\) | \(0\) | \(3\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\frac18\) | \(\frac28=\frac14\) | \(\frac14\) | \(\frac14\) | \(\frac18\) |
3. \[ P(X\geq0)=\frac14+\frac14+\frac18=\boxed{\frac58}. \]
4. \[ E(X)=(-4)\frac18+(-2)\frac14+0\frac14+3\frac14+5\frac18 =\frac38=0{,}375. \] Sur un grand nombre de parties, le gain moyen du joueur est donc d'environ \(\boxed{0{,}375\text{ € par partie}}\).
Exercice 2
1. La somme des probabilités vaut \(1\) : \[ 0{,}15+0{,}35+0{,}30+p=1, \] donc \(\boxed{p=0{,}20}\).
2. \[ P(Y\leq1)=0{,}15+0{,}35=\boxed{0{,}50}. \]
3. \[ E(Y)=(-2)(0{,}15)+1(0{,}35)+3(0{,}30)+6(0{,}20)=\boxed{2{,}15}. \]
4. \[ E(Y^2)=4(0{,}15)+1(0{,}35)+9(0{,}30)+36(0{,}20)=10{,}85. \] Donc \[ V(Y)=10{,}85-(2{,}15)^2=\boxed{6{,}2275} \] et \[ \sigma(Y)=\sqrt{6{,}2275}\approx\boxed{2{,}50}. \]
Exercice 3
1. Il y a \(10\) boules : \[ P(G=4)=\frac5{10}=0{,}5,\quad P(G=8)=\frac3{10}=0{,}3,\quad P(G=-x)=\frac2{10}=0{,}2. \]
2. \[ E(G)=4(0{,}5)+8(0{,}3)-x(0{,}2)=4{,}4-0{,}2x. \]
3. Un jeu est équitable lorsque \(E(G)=0\) : \[ 4{,}4-0{,}2x=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=22}. \]
4. Pour \(x=10\), \[ E(G)=4{,}4-2=\boxed{2{,}4}. \] L'espérance est positive : le jeu est donc favorable au joueur.
Exercice 4
1. \[ E(A)=(-2)(0{,}25)+2(0{,}50)+6(0{,}25)=\boxed{2}, \] et \[ E(B)=(-4)(0{,}25)+2(0{,}50)+8(0{,}25)=\boxed{2}. \]
2. Pour \(A\), \[ E(A^2)=4(0{,}25)+4(0{,}50)+36(0{,}25)=12, \] donc \[ V(A)=12-2^2=\boxed{8}. \] Pour \(B\), \[ E(B^2)=16(0{,}25)+4(0{,}50)+64(0{,}25)=22, \] donc \[ V(B)=22-2^2=\boxed{18}. \]
3. Oui. Les deux jeux ont la même espérance : \(\boxed{2}\).
4. Comme \(V(B)>V(A)\), le jeu B présente une plus grande dispersion : ses gains sont plus variables autour du gain moyen.