TERMINALE • SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES

Bernoulli et loi binomiale : calculs fondamentaux

Exercices progressifs • Reconnaître le modèle • Coefficients binomiaux • Calculer \(P(X=k)\)

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Objectif : savoir reconnaître un schéma de Bernoulli, identifier ses paramètres \(n\) et \(p\), définir la variable aléatoire adaptée et calculer une probabilité de la forme \[ P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}. \]

1Reconnaître une situation binomiale

Pour chacune des situations suivantes, dire si le nombre de succès peut être modélisé par une loi binomiale. Lorsque c'est le cas, préciser \(n\) et \(p\).

A. Un basketteur réussit un lancer franc avec une probabilité de \(0{,}75\). On suppose ses tirs indépendants. Il effectue \(12\) lancers et on compte le nombre de réussites.
B. On tire successivement \(5\) cartes d'un jeu de \(32\) cartes, sans remise, et on compte le nombre de cœurs obtenus.
C. Une machine produit des pièces défectueuses avec une probabilité de \(0{,}03\). On suppose les productions indépendantes. On contrôle \(20\) pièces et on compte le nombre de pièces défectueuses.

2Coefficients binomiaux et formule

  1. Calculer \(\binom92\).
  2. Sans nouveau calcul, donner \(\binom97\).
  3. On suppose \(X\sim\mathcal B(9,0{,}4)\). Écrire puis calculer \(P(X=2)\), arrondi au millième.

3Probabilités ponctuelles

On suppose :

\[ Y\sim\mathcal B(12,0{,}25). \]
  1. Calculer \(P(Y=4)\), arrondi au millième.
  2. Calculer \(P(Y=0)\), arrondi au millième.
  3. Interpréter chacune de ces deux probabilités dans le cadre d'un schéma de Bernoulli à \(12\) épreuves.

4Contrôle de qualité

Dans une usine, une pièce a une probabilité de \(0{,}08\) d'être défectueuse. On prélève \(20\) pièces. On suppose que les états des pièces sont indépendants.

On note \(Z\) le nombre de pièces défectueuses parmi les \(20\) pièces prélevées.

  1. Justifier que \(Z\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
  2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(2\) pièces défectueuses, arrondie au millième.
  3. Calculer la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse, arrondie au millième.
  4. Donner l'espérance de \(Z\) et l'interpréter.
Réflexe à retenir : pour pouvoir écrire \(X\sim\mathcal B(n,p)\), on vérifie trois idées : une même épreuve à deux issues, répétée \(n\) fois, de façon indépendante, avec une probabilité de succès \(p\) constante.
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Exercice 1

A. Oui. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli de succès « le lancer est réussi », les \(12\) lancers sont supposés indépendants et la probabilité de succès reste égale à \(0{,}75\). Si \(X\) désigne le nombre de réussites :

\[ \boxed{X\sim\mathcal B(12,0{,}75)}. \]

B. Non. Les cartes sont tirées sans remise : les tirages ne sont donc pas indépendants et la probabilité d'obtenir un cœur varie au cours des tirages.

C. Oui. Si \(Y\) désigne le nombre de pièces défectueuses :

\[ \boxed{Y\sim\mathcal B(20,0{,}03)}. \]

Exercice 2

1.

\[ \binom92=\frac{9\times8}{2\times1}=\boxed{36}. \]

2. Par symétrie des coefficients binomiaux :

\[ \binom97=\binom92=\boxed{36}. \]

3.

\[ P(X=2)=\binom92(0{,}4)^2(0{,}6)^7. \] Donc : \[ P(X=2)\approx\boxed{0{,}161}. \]

Exercice 3

1.

\[ P(Y=4)=\binom{12}{4}(0{,}25)^4(0{,}75)^8\approx\boxed{0{,}194}. \]

2.

\[ P(Y=0)=\binom{12}{0}(0{,}25)^0(0{,}75)^{12}=(0{,}75)^{12}\approx\boxed{0{,}032}. \]

3. \(P(Y=4)\) est la probabilité d'obtenir exactement \(4\) succès lors des \(12\) épreuves. \(P(Y=0)\) est la probabilité de n'obtenir aucun succès.

Exercice 4

1. Chaque pièce correspond à une épreuve de Bernoulli dont le succès est « la pièce est défectueuse ». Les \(20\) épreuves sont supposées indépendantes et \(p=0{,}08\). Donc :

\[ \boxed{Z\sim\mathcal B(20,0{,}08)}. \]

2.

\[ P(Z=2)=\binom{20}{2}(0{,}08)^2(0{,}92)^{18}\approx\boxed{0{,}271}. \]

3.

\[ P(Z=0)=(0{,}92)^{20}\approx\boxed{0{,}189}. \]

4.

\[ E(Z)=np=20\times0{,}08=\boxed{1{,}6}. \]

Sur un grand nombre de prélèvements de \(20\) pièces, le nombre moyen de pièces défectueuses par prélèvement est donc de \(1{,}6\).