1Traduire puis calculer
On suppose :
\[ X\sim\mathcal B(20,0{,}3). \]- Traduire puis calculer la probabilité d'obtenir au plus 4 succès.
- Traduire puis calculer la probabilité d'obtenir au moins 7 succès.
- Calculer la probabilité d'obtenir entre 3 et 8 succès inclus.
Les résultats seront arrondis au millième.
2Choisir le bon calcul
On suppose :
\[ Y\sim\mathcal B(15,0{,}4). \]- Calculer \(P(Y\leq5)\).
- En déduire \(P(Y\geq6)\) sans effectuer une nouvelle somme de probabilités ponctuelles.
- Calculer \(P(4\leq Y\leq7)\).
- Calculer \(P(Y>9)\).
Les résultats seront arrondis au millième.
3Contrôle d'une série de composants
Un composant électronique a une probabilité de \(0{,}05\) d'être défectueux. On contrôle \(12\) composants supposés indépendants.
On note \(D\) le nombre de composants défectueux.
- Justifier que \(D\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
- Calculer la probabilité qu'au moins un composant soit défectueux.
- Calculer la probabilité qu'il y ait au plus deux composants défectueux.
- Calculer \(E(D)\) et interpréter cette valeur.
Les probabilités seront arrondies au millième.
4Problème de modélisation
Dans une serre, une graine donnée germe avec une probabilité de \(0{,}8\). On plante \(25\) graines dans des conditions identiques et on suppose les germinations indépendantes.
On note \(G\) le nombre de graines qui germent.
- Justifier que \(G\sim\mathcal B(25,0{,}8)\).
- Calculer la probabilité qu'au moins 18 graines germent.
- Calculer la probabilité qu'au plus 20 graines germent.
- Calculer la probabilité qu'entre 18 et 22 graines incluses germent.
- Déterminer \(E(G)\) et donner une interprétation concrète.
Les probabilités seront arrondies au millième.
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Exercice 1
1. « Au plus 4 succès » se traduit par \(X\leq4\).
\[ P(X\leq4)\approx \boxed{0,238}. \]2. « Au moins 7 succès » se traduit par \(X\geq7\). On utilise l'événement contraire :
\[ P(X\geq7)=1-P(X\leq6)\approx \boxed{0,392}. \]3.
\[ P(3\leq X\leq8)=P(X\leq8)-P(X\leq2) \] donc \[ P(3\leq X\leq8)\approx\boxed{0,851}. \]Exercice 2
1.
\[ P(Y\leq5)\approx\boxed{0,403}. \]2. Les événements \(Y\leq5\) et \(Y\geq6\) sont contraires :
\[ P(Y\geq6)=1-P(Y\leq5)\approx\boxed{0,597}. \]3.
\[ P(4\leq Y\leq7)=P(Y\leq7)-P(Y\leq3) \approx\boxed{0,696}. \]4. \(Y>9\) signifie \(Y\geq10\). Ainsi :
\[ P(Y>9)=1-P(Y\leq9)\approx\boxed{0,034}. \]Exercice 3
1. Chaque composant correspond à une épreuve de Bernoulli de succès « le composant est défectueux », de probabilité \(0{,}05\). Les \(12\) contrôles sont supposés indépendants. Donc :
\[ \boxed{D\sim\mathcal B(12,0{,}05)}. \]2. « Au moins un composant défectueux » correspond à \(D\geq1\). L'événement contraire est \(D=0\) :
\[ P(D\geq1)=1-P(D=0)=1-(0{,}95)^{12} \approx\boxed{0,460}. \]3.
\[ P(D\leq2)\approx\boxed{0,980}. \]4.
\[ E(D)=np=12\times0{,}05=\boxed{0{,}6}. \] Sur un grand nombre de contrôles de \(12\) composants, on observerait en moyenne \(0{,}6\) composant défectueux par série de \(12\).Exercice 4
1. Les \(25\) germinations sont modélisées par des épreuves de Bernoulli indépendantes, avec une probabilité de succès constante \(p=0{,}8\). Ainsi :
\[ \boxed{G\sim\mathcal B(25,0{,}8)}. \]2.
\[ P(G\geq18)=1-P(G\leq17)\approx\boxed{0,891}. \]3.
\[ P(G\leq20)\approx\boxed{0,579}. \]4.
\[ P(18\leq G\leq22)=P(G\leq22)-P(G\leq17) \approx\boxed{0,793}. \]5.
\[ E(G)=np=25\times0{,}8=\boxed{20}. \] Sur un grand nombre de plantations de \(25\) graines, on obtient en moyenne \(20\) germinations par groupe de \(25\) graines.