1Contrôle qualité
Une usine produit des composants électroniques. On estime que \(6\,\%\) des composants sont défectueux. On prélève au hasard \(25\) composants dans une production suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants.
On note \(X\) le nombre de composants défectueux dans l'échantillon.
- Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
- Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(2\) composants défectueux.
- Calculer la probabilité d'obtenir au plus \(1\) composant défectueux.
- Calculer la probabilité d'obtenir au moins \(3\) composants défectueux.
- Déterminer \(E(X)\) et interpréter cette valeur.
Les probabilités seront arrondies au millième.
2Présence à un événement
Lors d'un événement, chaque personne inscrite a une probabilité de \(0{,}85\) d'être effectivement présente. On suppose les présences indépendantes. Vingt personnes sont inscrites.
On note \(Y\) le nombre de personnes présentes.
- Donner la loi de \(Y\).
- Calculer la probabilité qu'au moins \(18\) personnes soient présentes.
- Calculer \(P(16\leq Y\leq19)\).
- Calculer \(E(Y)\), \(V(Y)\) et \(\sigma(Y)\).
- Interpréter l'espérance dans le contexte.
Les probabilités seront arrondies au millième et l'écart-type au centième.
3Combien de tentatives faut-il ?
Lors d'une campagne de prospection, chaque contact répond favorablement avec une probabilité de \(0{,}12\), indépendamment des autres contacts.
On effectue \(n\) contacts.
- Exprimer, en fonction de \(n\), la probabilité de n'obtenir aucune réponse favorable.
- En déduire la probabilité d'obtenir au moins une réponse favorable.
- Déterminer le plus petit entier \(n\) pour lequel la probabilité d'obtenir au moins une réponse favorable est supérieure ou égale à \(0{,}95\).
- Vérifier le résultat en comparant les probabilités obtenues pour \(n-1\) et \(n\).
4Problème type bac : conformité d'un lot
Un fournisseur affirme que \(92\,\%\) de ses pièces sont conformes. Pour contrôler cette affirmation, on prélève \(40\) pièces de manière indépendante.
On note \(Z\) le nombre de pièces conformes.
- Justifier que \(Z\sim\mathcal B(40,0{,}92)\).
- Calculer la probabilité que exactement \(38\) pièces soient conformes.
- Le lot est accepté si au moins \(36\) pièces sont conformes. Calculer la probabilité que le lot soit accepté.
- Calculer \(P(35\leq Z\leq39)\).
- Calculer \(E(Z)\), \(V(Z)\) et \(\sigma(Z)\), puis interpréter l'espérance.
- Un second fournisseur annonce un taux de conformité de \(95\,\%\). Avec le même critère d'acceptation, calculer la probabilité d'acceptation et comparer les deux fournisseurs.
Les probabilités seront arrondies au millième et l'écart-type au centième.
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Exercice 1
1. Chaque composant correspond à une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le composant est défectueux », de probabilité \(0{,}06\). Les \(25\) prélèvements sont assimilés à des essais indépendants. Ainsi :
\[ \boxed{X\sim\mathcal B(25,0{,}06)}. \]2.
\[ P(X=2)=\binom{25}{2}(0{,}06)^2(0{,}94)^{23} \approx\boxed{0,260}. \]3.
\[ P(X\leq1)=P(X=0)+P(X=1)\approx\boxed{0,553}. \]4.
\[ P(X\geq3)=1-P(X\leq2)\approx\boxed{0,187}. \]5.
\[ E(X)=np=25\times0{,}06=\boxed{1{,}5}. \] Sur un grand nombre de prélèvements de \(25\) composants, on observerait en moyenne \(1{,}5\) composant défectueux par prélèvement.Exercice 2
1. Le succès est « la personne est présente », de probabilité \(0{,}85\), et les \(20\) présences sont supposées indépendantes :
\[ \boxed{Y\sim\mathcal B(20,0{,}85)}. \]2.
\[ P(Y\geq18)\approx\boxed{0,405}. \]3.
\[ P(16\leq Y\leq19)\approx\boxed{0,791}. \]4.
\[ E(Y)=20\times0{,}85=\boxed{17}, \] \[ V(Y)=20\times0{,}85\times0{,}15=\boxed{2{,}55}, \] et \[ \sigma(Y)=\sqrt{2{,}55}\approx\boxed{1,60}. \]5. Sur un grand nombre d'événements comparables avec \(20\) inscrits, on peut s'attendre en moyenne à \(17\) personnes présentes.
Exercice 3
1. La probabilité qu'un contact ne réponde pas favorablement vaut \(1-0{,}12=0{,}88\). Ainsi :
\[ P(\text{aucune réponse favorable})=(0{,}88)^n. \]2. Par événement contraire :
\[ P(\text{au moins une réponse favorable})=1-(0{,}88)^n. \]3. On cherche :
\[ 1-(0{,}88)^n\geq0{,}95. \] Cela équivaut à : \[ (0{,}88)^n\leq0{,}05. \] En prenant les logarithmes : \[ n\ln(0{,}88)\leq\ln(0{,}05). \] Comme \(\ln(0{,}88)<0\), le sens de l'inégalité s'inverse lorsqu'on divise : \[ n\geq\frac{\ln(0{,}05)}{\ln(0{,}88)}\approx 23,43. \] Le plus petit entier convenable est donc : \[ \boxed{n=24}. \]4.
\[ 1-(0{,}88)^{23}\approx 0,947<0{,}95, \] tandis que \[ 1-(0{,}88)^{24}\approx 0,953\geq0{,}95. \] Le résultat est bien confirmé.Exercice 4
1. Les \(40\) contrôles sont modélisés par des épreuves de Bernoulli indépendantes, avec une probabilité de conformité \(p=0{,}92\). Donc :
\[ \boxed{Z\sim\mathcal B(40,0{,}92)}. \]2.
\[ P(Z=38)=\binom{40}{38}(0{,}92)^{38}(0{,}08)^2 \approx\boxed{0,210}. \]3.
\[ P(Z\geq36)=1-P(Z\leq35)\approx\boxed{0,787}. \]4.
\[ P(35\leq Z\leq39)\approx\boxed{0,868}. \]5.
\[ E(Z)=40\times0{,}92=\boxed{36{,}8}, \] \[ V(Z)=40\times0{,}92\times0{,}08=\boxed{2{,}944}, \] et \[ \sigma(Z)=\sqrt{2{,}944}\approx\boxed{1,72}. \] Sur un grand nombre de lots de \(40\) pièces, on observe en moyenne \(36{,}8\) pièces conformes par lot.6. Pour un taux de conformité de \(95\,\%\), si \(T\sim\mathcal B(40,0{,}95)\), alors :
\[ P(T\geq36)\approx\boxed{0,952}. \] Cette probabilité est supérieure à celle obtenue avec un taux de conformité de \(92\,\%\). Le second fournisseur a donc davantage de chances de satisfaire le critère d'acceptation.