📐 Grand Oral • Analyse & algorithmique

Comment calculer une aire lorsqu’on ne connaît pas de primitive ?

Intégration numérique : de quelques rectangles sous une courbe aux trapèzes et à une méthode surprenante, celle de Simpson.

≈ 10 minutesTerminale spécialitéIntégralesSommesLimitesAlgorithmiqueOuverture : Simpson

La question qui fait avancer l’exposé

Une intégrale donne une aire sous une courbe positive. En Terminale, on sait la calculer exactement lorsqu’on dispose d’une primitive. Mais une calculatrice obtient aussi des valeurs dans des situations où aucune primitive usuelle n’est disponible. Comment fait-elle ?

On va tester trois idées de plus en plus précises sur une aire que l’on connaît, puis sur une intégrale plus difficile.

Exposé complet — environ 10 minutes

0:00 – 1:05

Introduction : une aire sans primitive, est-ce possible ?

Imaginons un logiciel qui doit calculer une surface, une distance à partir d’une vitesse variable ou l’énergie consommée par un appareil. Dans ces situations, les mathématiques font souvent apparaître une intégrale. En Terminale, nous avons appris qu’une intégrale peut se calculer grâce à une primitive. Mais encore faut-il la connaître !

Par exemple, considérons la fonction positive \(f(x)=e^{-x^2}\). Elle est continue et son intégrale entre 0 et 1 existe. Pourtant, on ne dispose pas de primitive exprimable à l’aide des fonctions élémentaires usuelles. Une calculatrice peut tout de même afficher une excellente approximation.

Ma question sera donc : comment calculer une aire lorsqu’on ne connaît pas de primitive ? Pour comprendre, je vais commencer par un exemple dont on connaît la réponse exacte, comparer plusieurs méthodes, puis revenir au cas difficile.

1:05 – 2:05

1. Discrétiser : transformer une courbe en petits morceaux

Prenons d’abord la fonction \(f(x)=x^2\) sur \([0;1]\). L’intégrale recherchée est

\[I=\int_0^1x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\boxed{\frac13}.\]

On connaît donc le résultat exact : environ \(0{,}333333\). Il servira de référence pour tester nos approximations.

Je partage maintenant l’intervalle en quatre parties égales. Chaque largeur vaut \(h=1/4\), et les points de découpage sont \(0\), \(1/4\), \(1/2\), \(3/4\) et \(1\). L’idée de l’intégration numérique est simple : remplacer une courbe compliquée par des formes dont on sait calculer l’aire.

2:05 – 3:15

2. Première idée : quatre rectangles

À gauche de chaque petit intervalle, je construis un rectangle dont la hauteur est la valeur de la fonction. Comme \(x^2\) est croissante sur \([0;1]\), ces rectangles restent sous la courbe : leur aire totale donne une valeur inférieure à l’intégrale.

\[L_4=\frac14\left(0^2+\left(\frac14\right)^2+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac34\right)^2\right)=\boxed{\frac7{32}=0{,}21875}.\]

Si je construis les rectangles à droite, j’obtiens une valeur supérieure :

\[R_4=\frac14\left(\left(\frac14\right)^2+\left(\frac12\right)^2+\left(\frac34\right)^2+1^2\right)=\boxed{\frac{15}{32}=0{,}46875}.\]

On a donc démontré l’encadrement :

\[\boxed{\frac7{32}\leq I\leq\frac{15}{32}}.\]

Quatre rectangles sont trop grossiers. Mais en prenant davantage d’intervalles, chacun devient moins large : les sommes de rectangles approchent l’intégrale.

3:15 – 4:15

3. Deuxième idée : choisir le milieu

On peut garder des rectangles en choisissant une hauteur plus représentative : la hauteur au milieu de chaque intervalle. Ici, les milieux sont \(1/8\), \(3/8\), \(5/8\), \(7/8\).

\[M_4=\frac14\left[\left(\frac18\right)^2+\left(\frac38\right)^2+\left(\frac58\right)^2+\left(\frac78\right)^2\right]=\boxed{\frac{21}{64}=0{,}328125}.\]

L’erreur, c’est la distance à \(1/3\) :

\[\left|I-M_4\right|=\boxed{\frac1{192}\approx0{,}00521}.\]

En choisissant mieux les hauteurs, on gagne déjà beaucoup en précision, sans connaître de nouvelle primitive.

4:15 – 5:20

4. Troisième idée : les trapèzes

Pourquoi conserver un sommet horizontal si la courbe monte ? Relions plutôt deux points consécutifs de la courbe par un segment. Avec ce segment et l’axe horizontal, on obtient un trapèze.

Son aire vaut la largeur multipliée par la moyenne des deux hauteurs. Sur les quatre intervalles, la formule devient :

\[T_4=\frac14\left[\frac{f(0)+f(1)}2+f\!\left(\frac14\right)+f\!\left(\frac12\right)+f\!\left(\frac34\right)\right].\]

En remplaçant \(f(x)\) par \(x^2\), on trouve :

\[\boxed{T_4=\frac{11}{32}=0{,}34375}.\]

L’erreur vaut \(1/96\), soit environ \(0{,}01042\). Elle est bien plus faible que celle des rectangles à gauche, même si, dans cet exemple, les rectangles au milieu restent meilleurs.

5:20 – 6:45

5. L’idée de Simpson : remplacer des droites par des paraboles

Nous avons remplacé la courbe par des segments horizontaux, puis par des segments inclinés. Peut-on encore améliorer l’approximation ? Oui : plutôt qu’une droite entre deux points, on utilise une parabole passant par trois points. C’est le principe de la méthode de Simpson.

Pour un nombre pair \(n\) de subdivisions, les coefficients de la formule suivent le rythme 1, 4, 2, 4, 2, …, 4, 1. Avec quatre subdivisions, la formule est :

\[S_4=\frac{1}{12}\left[f(0)+4f\!\left(\frac14\right)+2f\!\left(\frac12\right)+4f\!\left(\frac34\right)+f(1)\right].\]

Pour \(f(x)=x^2\), calculons :

\[S_4=\frac{1}{12}\left(0+4\cdot\frac1{16}+2\cdot\frac14+4\cdot\frac9{16}+1\right)=\boxed{\frac13}.\]

Cette fois, le résultat est exact ! Ce n’est pas un miracle : la fonction \(x^2\) est déjà une parabole. La courbe qui sert à approcher est donc exactement la courbe d’origine.

6:45 – 7:35

6. Simpson n’est pas toujours exact

Pour ne pas tirer une conclusion abusive, changeons légèrement de fonction : prenons \(g(x)=x^4\). Cette fois,

\[\int_0^1x^4\,dx=\frac15=0{,}2.\]

Avec quatre subdivisions, Simpson donne :

\[\boxed{S_4=\frac{77}{384}\approx0{,}200520833}.\]

Donc son erreur est

\[\left|S_4-\frac15\right|=\boxed{\frac1{1920}\approx0{,}000521}.\]

La méthode reste très précise ici, mais elle n’est plus exacte. La question n’est pas seulement de trouver une approximation : c’est aussi de savoir quelle confiance lui accorder.

7:35 – 8:40

7. Revenir à une intégrale difficile

Reprenons enfin

\[J=\int_0^1e^{-x^2}\,dx.\]

Cette fonction ne possède pas de primitive élémentaire usuelle. Pourtant, elle est continue, positive, et nous savons calculer ses valeurs numériques. Avec seulement quatre subdivisions, la méthode des trapèzes donne environ \(0{,}742984\), tandis que Simpson donne environ \(0{,}746855\).

Un calcul numérique indépendant, réalisé avec une grande précision, fournit comme valeur de référence :

\[\boxed{J\approx0{,}7468241328}.\]

Nous obtenons donc déjà une erreur d’environ \(0{,}0000312\) avec Simpson et quatre subdivisions. Nous pouvons répéter l’algorithme avec huit, seize ou davantage d’intervalles, et comparer les résultats.

8:40 – 9:35

8. Pourquoi ces méthodes font-elles intervenir les suites et les limites ?

Pour un intervalle général \([a;b]\), on découpe en \(n\) parties de largeur \(h=(b-a)/n\), puis on additionne les aires calculées. Par exemple, pour les rectangles à gauche, on forme la somme :

\[L_n=h\sum_{k=0}^{n-1}f(a+kh).\]

Chaque valeur de \(n\) donne un nombre \(L_n\). On a donc construit une suite numérique. Pour une fonction continue, lorsque les subdivisions deviennent de plus en plus fines, cette suite converge vers l’intégrale :

\[\boxed{\lim_{n\to+\infty}L_n=\int_a^bf(x)\,dx}.\]

Voilà le lien avec le programme : l'intégrale est à la fois une aire et une limite de sommes. Et un programme informatique peut calculer ces sommes sans jamais chercher une primitive.

9:35 – 10:10

Conclusion : calculer, mais aussi contrôler la précision

Quand on ne sait pas calculer une intégrale exactement, on peut remplacer la courbe par des formes simples. Les rectangles donnent une première estimation, les trapèzes épousent mieux la pente, et Simpson exploite la courbure grâce à des paraboles.

Mais plus sophistiqué ne signifie pas toujours meilleur dans toutes les situations. Le choix d’une méthode dépend de la fonction, du nombre de subdivisions et de la précision recherchée. Les mathématiques montrent donc comment passer d’une aire difficile à une somme calculable, tout en gardant un regard critique sur l’erreur.

Conseil pour l’oral : montrer clairement les cinq points qui délimitent les quatre intervalles et détailler au tableau un calcul de rectangles, un calcul de trapèzes et la pondération de Simpson. L’algorithme complet n’a pas besoin d’être développé pendant les dix minutes.

Un support visuel réalisable pendant la préparation

Sur une feuille : dessiner trois fois la courbe \(y=x^2\) sur \([0;1]\), puis représenter successivement quatre rectangles à gauche, quatre trapèzes et l’approximation parabolique de Simpson. Écrire sous chaque dessin la valeur approchée, puis comparer à \(I=1/3\).

Trois graphiques mathématiquement exacts représentant quatre rectangles, quatre trapèzes et la méthode de Simpson sous la parabole y=x²
Méthode, \(n=4\)Valeur pour \(x^2\)Erreur absolue
Rectangles à gauche0,2187500,114583
Rectangles au milieu0,3281250,005208
Trapèzes0,3437500,010417
Simpson0,333333…0

Laboratoire interactif : tester l’intégration numérique

Choisis une fonction, une méthode et le nombre de subdivisions. Le graphique se reconstruit avec les véritables coordonnées numériques ; la valeur et l’erreur sont recalculées en direct.

🔎 Explorer davantage : teste aussi tes propres fonctions, tes bornes et cinq méthodes dans le calculateur d’intégration numérique de Mission Maths ↗. Tu pourras y suivre l’erreur, la convergence et exporter les graphiques.

Valeur approchée—
Référence—
Erreur absolue—

La référence est exacte pour les polynômes et numérique de haute précision pour exp(−x²).

15 questions probables du jury — et leurs réponses

1. Qu’appelle-t-on une intégrale sur [a;b] ?
Pour une fonction continue positive, elle représente l’aire sous la courbe entre les droites \(x=a\) et \(x=b\). Plus généralement, c’est une aire algébrique.
2. Pourquoi la fonction doit-elle être positive pour parler directement d’une aire ?
Si elle est négative, l’intégrale compte cette partie négativement : ce n’est pas l’aire géométrique totale sans valeur absolue.
3. À quoi correspond la largeur h ?
Lorsque \([a;b]\) est partagé en \(n\) parties égales, \(\boxed{h=(b-a)/n}\).
4. Pourquoi les rectangles à gauche sont-ils une sous-estimation pour x² ?
Parce que \(x^2\) est croissante sur \([0;1]\). La hauteur au bord gauche est toujours inférieure ou égale aux hauteurs du reste du petit intervalle.
5. Quels sont les deux encadrements obtenus avec quatre rectangles ?
\(\frac7{32}\leq\frac13\leq\frac{15}{32}\).
6. Quelle différence y a-t-il entre rectangles à gauche et rectangles au milieu ?
On évalue la fonction à l’extrémité gauche ou au centre de chaque sous-intervalle. Les rectangles au milieu peuvent réduire l’erreur, comme ici.
7. D’où vient la formule de l’aire d’un trapèze ?
On multiplie la largeur par la moyenne des deux hauteurs : \(\frac{h}{2}(f(x_i)+f(x_{i+1}))\).
8. Que vaut exactement l’intégrale de x² entre 0 et 1 ?
\(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac13\).
9. Qu’est-ce qu’une erreur absolue ?
C’est la valeur \(|\text{approximation}-\text{référence}|\), lorsque la référence exacte ou une valeur de précision suffisante est connue.
10. Pourquoi les trapèzes surestiment-ils l’intégrale de x² ?
\(f''(x)=2>0\) : la courbe est convexe et les cordes restent au-dessus de la courbe.
11. Quel est le principe géométrique de Simpson ?
Au lieu de morceaux constants ou linéaires, on utilise des polynômes de degré 2 ajustés à trois points.
12. Pourquoi le nombre n de subdivisions doit-il être pair pour Simpson composite ?
Parce que chaque parabole est construite sur une paire de sous-intervalles ; ils doivent donc pouvoir être regroupés deux par deux.
13. Pourquoi Simpson donne-t-il exactement 1/3 pour x² ?
Parce que la parabole interpolatrice coïncide exactement avec \(x^2\), qui est déjà un polynôme de degré 2.
14. Pourquoi a-t-on intérêt à augmenter n ?
Cela affine les sous-intervalles. Pour une fonction continue, les sommes de rectangles convergent vers l’intégrale. La précision numérique s’améliore généralement tant que les effets d’arrondi restent faibles.
15. À quoi servent ces calculs en pratique ?
Ils permettent de calculer des aires, des volumes, des énergies ou des quantités cumulées quand on connaît la fonction ou des valeurs échantillonnées mais pas de primitive simple.

5 relances difficiles si le jury modifie le problème

1. Si je remplace x² par une fonction décroissante, les rectangles à gauche restent-ils minorants ?
Non. Pour une fonction décroissante positive, les rectangles à gauche sont majorants, tandis que ceux à droite sont minorants.
2. Pourquoi Simpson n’est-il pas toujours exact ?
Parce qu’une parabole ne peut pas coïncider exactement avec n’importe quelle courbe. Pour \(x^4\), on trouve \(S_4=77/384\ne1/5\).
3. Peut-on expliquer simplement la formule de Simpson autrement ?
Sur deux sous-intervalles de largeur \(h\), la formule s’écrit \(\frac h3[f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)]\). Elle combine les trois hauteurs avec le poids central 4 ; une interprétation équivalente est une moyenne pondérée des règles du milieu et des trapèzes.
4. Comment montrer que les rectangles à gauche convergent vers 1/3 dans le cas de x² ?
On a \(L_n=\frac1{n^3}\sum_{k=0}^{n-1}k^2=\frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}\). En divisant numérateur et dénominateur par \(n^2\), on obtient \(\lim L_n=1/3\).
5. Peut-on connaître l’erreur quand on ignore la valeur exacte ?
On peut parfois obtenir une borne d’erreur grâce à des hypothèses de régularité et des dérivées. Pour l’exposé de Terminale, on peut au minimum comparer deux raffinements du maillage, tout en précisant que leur écart ne constitue pas à lui seul une preuve de précision.

Ce qu’il faut maîtriser — et ce qui relève de l’ouverture

La compréhension des intégrales, des suites, des limites, du calcul numérique et de l’algorithmique est au cœur de la spécialité mathématiques. La formule de Simpson peut être expliquée intuitivement et appliquée, mais sa démonstration générale et ses théorèmes d’erreur ne sont pas nécessaires à cet exposé de Terminale.

Attention aussi : une approximation décimale n'est pas une valeur exacte. Lorsque la valeur de référence est elle-même calculée numériquement, il faut préciser qu’il s’agit d’une référence de haute précision, et non d’une expression exacte obtenue par primitive.

Petit plan de l’exposé — à mémoriser

  1. Pourquoi intégrer numériquement ? Une intégrale existe même lorsqu’on ne connaît pas de primitive élémentaire.
  2. Rectangles : partager l’intervalle, additionner des aires simples et encadrer l’intégrale.
  3. Trapèzes : remplacer les sommets horizontaux par des segments inclinés ; comparer les erreurs.
  4. Simpson : passer à des paraboles et expliquer l’exactitude sur \(x^2\).
  5. Applications et limites : tester \(x^4\), calculer \(\int_0^1e^{-x^2}\,dx\), parler de précision et de convergence.

Pour aller plus loin