On remplace la courbe par des rectangles de hauteur f(xᵢ) ou f(xᵢ₊₁). Méthodes simples, souvent moins précises.
L’aire vue de près
f(x) = x² sur [0 ; 1] • 8 subdivisions
Courbe Approximation Axe y = 0
Valeur approchée—
Valeur de référence—
Erreur absolue—
Les références exactes sont indiquées pour les exemples connus. Sinon, une référence est estimée avec un calcul adaptatif distinct du nombre n choisi.
Comparer les cinq méthodes
Même fonction, mêmes bornes, mêmes subdivisions : compare les résultats et leurs erreurs absolues, mesurées par rapport à la référence.
| Méthode | Approximation | Erreur absolue |
|---|---|---|
| Lancer un calcul. | ||
La convergence en direct
Que devient l’erreur quand on augmente n ? Le graphique compare les erreurs des cinq méthodes pour n = 4, 8, 16, 32, 64 et 128.
Échelle verticale logarithmique. Une erreur nulle est dessinée au plancher du graphique. La référence reste numérique si l’intégrale n’a pas d’expression exacte connue.
Comprendre les méthodes
On partage [a ; b] en n intervalles de largeur h = (b − a)/n, et on note xᵢ = a + ih. Pour une intégrale orientée (b < a), la largeur h est négative.
On prend soit la valeur au milieu, soit le segment joignant les valeurs aux extrémités. On approche ainsi mieux la forme de la courbe.
Par groupes de deux sous-intervalles, on remplace la courbe par le polynôme du second degré passant par trois points : n doit être pair.
Rectangles gauche :
Lₙ = h × ∑ f(xᵢ), pour i = 0 à n − 1Rectangles droite :
Rₙ = h × ∑ f(xᵢ), pour i = 1 à nPoints milieux :
Mₙ = h × ∑ f(a + (i + ½)h), pour i = 0 à n − 1Trapèzes :
Tₙ = h × [½f(a) + ∑ f(xᵢ) (i = 1 à n − 1) + ½f(b)]Simpson (n pair) :
Sₙ = (h/3) × [f(x₀) + 4∑ f(xᵢ) (i impair) + 2∑ f(xᵢ) (i pair, intérieur) + f(xₙ)]Pourquoi Simpson est exact pour x² ? Parce que la courbe est elle-même une parabole. Plus généralement, la formule de Simpson est exacte pour les polynômes de degré au plus 3. Pour les autres fonctions, l’erreur n’est généralement pas nulle.
Ce que l’outil calcule — et ce qu’il ne prouve pas
Les méthodes approchent l’intégrale signée, pas systématiquement une aire positive : la surface sous l’axe des abscisses contribue négativement. Pour obtenir l’aire géométrique entre une courbe et l’axe, il faut intégrer |f(x)|.
Attention aux discontinuités : l’outil vérifie que les valeurs calculées sont finies, mais ne peut pas certifier qu’une fonction est continue ni qu’une intégrale est définie sur tout l’intervalle. Une asymptote, un saut ou une oscillation très rapide peut produire une approximation trompeuse. La « référence numérique » n’est pas une démonstration.
Pour préparer ton Grand Oral, retrouve le sujet complet « Comment calculer une aire lorsqu’on ne connaît pas de primitive ? » avec l’exposé, les démonstrations et les questions du jury.