Objectif : prouver qu’une équation possède une et une seule solution sur un intervalle, même si l’on ne sait pas calculer cette solution exactement.
On distingue deux questions : existe-t-il une solution ? et peut-il y en avoir plusieurs ?
1. Deux arguments complémentaires
Pour l’existence : soit une fonction \(f\) continue sur \([a\,;b]\), avec \(a<b\).
Si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes strictement opposés, alors \(0\) est compris entre ces deux valeurs. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’au moins un réel \(\alpha\in]a\,;b[\) tel que \(f(\alpha)=0\).
Pour l’unicité : si \(f\) est aussi strictement monotone sur \([a\,;b]\), elle ne peut pas prendre deux fois la valeur \(0\). La solution est donc unique sur cet intervalle.
Continuité + signes opposés aux bornes → existence.
Stricte monotonie → unicité.
2. La démarche en quatre étapes
1. Choisir la fonction
Regrouper les termes dans un même membre pour écrire l’équation sous la forme \(f(x)=0\).
Exemple : \(e^x=2-x\) équivaut à \(e^x+x-2=0\).2. Justifier la continuité
Préciser l’intervalle et expliquer pourquoi \(f\) y est continue : fonction polynomiale, somme de fonctions continues, fonction dérivable…
3. Vérifier les valeurs aux bornes
Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\), puis vérifier que leurs signes sont strictement opposés. On pourra alors appliquer le TVI.
4. Prouver la stricte monotonie
Étudier les variations de \(f\), souvent à l’aide de sa dérivée, pour montrer qu’elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Si une valeur aux bornes est nulle : lorsque \(f(a)=0\) ou \(f(b)=0\), une solution est déjà trouvée à une extrémité. La stricte monotonie permet encore d’en justifier l’unicité sur \([a\,;b]\).
3. Une rédaction type
« La fonction \(f\) est continue sur \([a\,;b]\). De plus, elle est strictement croissante sur cet intervalle.
On a \(f(a)<0<f(b)\). Le réel \(0\) est donc strictement compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\).
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]a\,;b[\). Comme \(f\) est strictement croissante, cette solution est unique. »
Pour une fonction strictement décroissante, on adapte les signes : \(f(b)<0<f(a)\). Le raisonnement reste le même.
4. Un exemple entièrement corrigé
Énoncé. Montrer que l’équation
possède une unique solution dans \([0\,;1]\).
Étape 1 — Réécrire l’équation
On pose \(f(x)=e^x+x-2\). Alors :
Étape 2 — Justifier la continuité
Les fonctions \(x\mapsto e^x\) et \(x\mapsto x-2\) sont continues sur \(\mathbb R\). Leur somme \(f\) est donc continue sur \(\mathbb R\), en particulier sur \([0\,;1]\).
Étape 3 — Calculer les valeurs aux bornes
Le réel \(0\) est strictement compris entre \(f(0)\) et \(f(1)\). Par le TVI, il existe donc au moins un réel \(\alpha\in]0\,;1[\) tel que \(f(\alpha)=0\).
Étape 4 — Justifier l’unicité
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
Elle est donc strictement croissante sur \([0\,;1]\). Ainsi, elle ne peut s’annuler qu’une seule fois sur cet intervalle.
Conclusion
L’équation \(e^x=2-x\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;1]\), et cette solution appartient à \(]0\,;1[\).
5. Encadrer la solution
On reprend la fonction \(f(x)=e^x+x-2\). À la calculatrice :
La fonction \(f\) est continue et strictement croissante. Sa seule racine est donc située entre \(0{,}44\) et \(0{,}45\).
L’amplitude de cet encadrement est \(0{,}45-0{,}44=0{,}01\).
Avec une fonction décroissante : le signe positif apparaît à gauche de la racine et le signe négatif à droite. Il faut tenir compte du sens de variation de la fonction.
6. Les pièges fréquents
- Attribuer l’unicité au TVI. Le TVI donne l’existence ; il faut un argument supplémentaire pour l’unicité.
- Oublier la continuité. Des valeurs de signes opposés aux bornes ne suffisent pas si la fonction n’est pas continue sur tout l’intervalle.
- Se contenter de « monotone ». Pour cet argument d’unicité, on utilise la stricte monotonie.
- Oublier l’intervalle. Une solution unique sur \([a\,;b]\) n’est pas forcément unique sur tout l’ensemble de définition.
- Confondre absence de changement de signe et absence de solution. Par exemple, \(x^2-1\) vaut \(3\) aux deux bornes de \([-2\,;2]\), mais s’annule en \(-1\) et en \(1\).
Une dérivée peut s’annuler ponctuellement. Le fait que \(f'(a)=0\) en un point ne permet pas de conclure que \(f\) n’est pas strictement monotone. Par exemple, \(x\mapsto x^3\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), bien que sa dérivée soit nulle en \(0\).
7. Exercices d’application
Chaque question possède un corrigé détaillé à déplier. Essaie de rédiger ton argument avant de l’afficher.
Exercice 1 — Une fonction croissante
On considère la fonction \(u(x)=x^3+2x-2\) sur \([0\,;1]\).
1. Calculer \(u'(x)\) et justifier que \(u\) est strictement croissante sur \([0\,;1]\).
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La fonction \(u\) est polynomiale, donc dérivable sur \(\mathbb R\). On obtient :
Pour tout réel \(x\), \(3x^2\geq0\), donc \(u'(x)\geq2>0\).
Ainsi, \(u\) est strictement croissante sur \([0\,;1]\).
2. Montrer que \(u(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;1]\).
Afficher le corrigé de la question 2
La fonction \(u\) est continue sur \([0\,;1]\), car elle est polynomiale. De plus :
Par le TVI, il existe au moins une solution \(\alpha\in]0\,;1[\) de \(u(x)=0\).
D’après la question 1, \(u\) est strictement croissante sur \([0\,;1]\). Cette solution est donc unique sur cet intervalle.
L’équation \(u(x)=0\) possède une unique solution \(\alpha\in]0\,;1[\).
3. Calculer \(u(0{,}77)\) et \(u(0{,}78)\), puis donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}01\).
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La fonction \(u\) est continue et strictement croissante. Sa racine est donc comprise entre ces deux nombres :
L’amplitude vaut \(0{,}78-0{,}77=0{,}01\).
Exercice 2 — Une fonction décroissante
On considère la fonction \(v(x)=5-x-x^3\) sur \([1\,;2]\).
1. Étudier les variations de \(v\) sur \([1\,;2]\).
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction \(v\) est polynomiale, donc dérivable sur \(\mathbb R\), et :
Pour tout réel \(x\), \(-3x^2\leq0\), donc \(v'(x)\leq-1<0\).
Ainsi, \(v\) est strictement décroissante sur \([1\,;2]\).
2. Montrer que \(v(x)=0\) possède une unique solution \(\beta\) dans \([1\,;2]\).
Afficher le corrigé de la question 2
La fonction \(v\) est continue sur \([1\,;2]\), car elle est polynomiale. On a :
Le réel \(0\) est compris entre \(v(2)\) et \(v(1)\). Par le TVI, \(v(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]1\,;2[\).
Comme \(v\) est strictement décroissante sur \([1\,;2]\), cette solution est unique sur cet intervalle.
L’équation \(v(x)=0\) possède une unique solution \(\beta\in]1\,;2[\).
3. On obtient \(v(1{,}51)=0{,}047049\) et \(v(1{,}52)=-0{,}031808\). En déduire un encadrement de \(\beta\).
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On a \(v(1{,}51)>0\) et \(v(1{,}52)<0\). Comme \(v\) est continue et strictement décroissante, elle s’annule une seule fois entre ces deux nombres.
L’amplitude de cet encadrement est \(1{,}52-1{,}51=0{,}01\).
Exercice 3 — Examiner un raisonnement
On considère \(h(x)=x^3-x\) sur \([-2\,;2]\). Un élève écrit :
« La fonction \(h\) est continue sur \([-2\,;2]\), avec \(h(-2)=-6\) et \(h(2)=6\). Donc, par le TVI, l’équation \(h(x)=0\) admet une unique solution sur cet intervalle. »
1. Quelle est l’erreur dans cette rédaction ?
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La continuité et les signes opposés aux bornes permettent d’appliquer le TVI. On peut en déduire l’existence d’au moins une solution, mais pas son unicité.
Il manque un argument d’unicité. La conclusion « une unique solution » n’est donc pas justifiée.
2. Factoriser \(h(x)\) et déterminer toutes les solutions de \(h(x)=0\) dans \([-2\,;2]\).
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Un produit est nul si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul. Ainsi :
Ces trois nombres appartiennent à \([-2\,;2]\).
L’équation possède exactement trois solutions sur l’intervalle : \(-1\), \(0\) et \(1\). L’affirmation de l’élève est donc fausse.
- Écrire l’équation sous la forme \(f(x)=0\).
- Justifier la continuité sur l’intervalle choisi.
- Calculer les valeurs aux bornes et vérifier leurs signes.
- Prouver la stricte monotonie.
- Conclure en distinguant existence et unicité.