Continuité et TVI
Justifier l’existence d’une solution d’équation et l’unicité grâce aux variations.
Continuité et convexité
Théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie, dérivées, convexité et points d’inflexion : toutes les ressources pour comprendre, s’entraîner et progresser.
Les notions essentielles
Les quatre thèmes à maîtriser pour réussir les études de fonctions en Terminale spécialité.
Dichotomie
Approcher une racine par encadrements successifs et contrôler la précision.
Convexité
Exploiter le signe de \(f''\), les variations de \(f'\), les tangentes et les cordes.
Inflexion
Identifier le changement de convexité et interpréter graphiquement ce phénomène.
COURS
Le chapitre complet en HTML et en PDF, avec exemples, graphiques et démarches expliquées.
MÉTHODES
12 fiches guidées pour apprendre à rédiger et choisir la bonne démarche.
1
Démontrer qu’une équation admet une unique solution
Associer continuité, changement de signe et stricte monotonie.
Voir la méthode → 2Étudier la convexité d’une fonction
Déterminer la convexité à partir du signe de la dérivée seconde.
Voir la méthode → 3Utiliser la convexité pour démontrer une inégalité
Comparer une courbe avec ses tangentes ou ses cordes.
Voir la méthode → 4Encadrer une solution par dichotomie
Réduire progressivement un intervalle contenant une solution.
Voir la méthode → 5Étudier un point d’inflexion et sa tangente
Interpréter un changement de convexité et écrire la tangente.
Voir la méthode → 6Utiliser les cordes d’une fonction convexe
Exploiter la position d’une courbe par rapport à ses cordes.
Voir la méthode → 7Déterminer le nombre de solutions d’une équation
Utiliser un tableau de variations et la continuité.
Voir la méthode → 8Étudier la continuité d’une fonction par morceaux
Comparer les limites et les valeurs aux points de raccord.
Voir la méthode → 9Étudier le signe d’une fonction et résoudre une inéquation
Déduire le signe des variations et des racines.
Voir la méthode → 10Lire une courbe de dérivée pour étudier la convexité
Relier les variations de f′ à la convexité de f.
Voir la méthode → 11Introduire une fonction auxiliaire
Construire une preuve de variation à l’aide d’une fonction auxiliaire.
Voir la méthode → 12Mener une étude de fonction complète
Combiner limites, dérivée, convexité, tangentes et équations.
Voir la méthode →QUESTIONS FLASH
Dix séries de quatre questions pour tester ses réflexes : de la continuité aux points d’inflexion, puis un bilan niveau bac. Chaque série dispose de son corrigé détaillé.
1
Continuité et dérivabilité
Premiers réflexes : fonctions continues, points de raccord et dérivabilité.
Voir la série → 2Théorème des valeurs intermédiaires
Reconnaître et appliquer le TVI sans oublier les hypothèses.
Voir la série → 3Existence et unicité d’une solution
Combiner continuité, TVI et stricte monotonie.
Voir la série → 4Encadrement et dichotomie
Rétrécir un intervalle contenant une racine.
Voir la série → 5Convexité et concavité
Identifier la forme d’une courbe et les variations de la dérivée.
Voir la série → 6Signe de la dérivée seconde
Déterminer précisément les intervalles de convexité.
Voir la série → 7Tangentes et inégalités
Exploiter la position des courbes par rapport aux tangentes.
Voir la série → 8Points d’inflexion
Savoir détecter et justifier un changement de convexité.
Voir la série → 9Lire les variations de la dérivée
Déduire graphiquement convexité, concavité et inflexion.
Voir la série → 10Bilan — niveau bac
Mobiliser plusieurs idées du chapitre en quatre réflexes.
Voir la série →Chaque fiche contient 4 questions à résoudre avant d’afficher la correction. 40 questions flash corrigées au total.
EXERCICES
Trois exercices progressifs avec solutions détaillées : TVI, convexité et étude de fonction.
TVI : une solution unique
Soit \(f(x)=x^3+x-1\) sur \([0;1]\).
- Justifier que \(f\) est continue sur \([0;1]\).
- Montrer que \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\).
- Encadrer \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
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Un polynôme est continu. \(f(0)=-1\) et \(f(1)=1\) : le TVI garantit une solution. Comme \(f'(x)=3x^2+1>0\), cette solution est unique.
\(f(0{,}68)=-0{,}005568<0\) et \(f(0{,}69)=0{,}018509>0\). Donc \(0{,}68<\alpha<0{,}69\).
Convexité et inflexion
Soit \(f(x)=x^4-2x^2\) sur \(\mathbb R\).
- Calculer \(f''(x)\).
- Préciser les intervalles de convexité et de concavité.
- Déterminer les abscisses des points d’inflexion.
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\(f''(x)=12x^2-4=4(3x^2-1)\). Cette dérivée seconde est positive pour \(|x|\geq 1/\sqrt3\) et négative pour \(|x|<1/\sqrt3\).
\(f\) est convexe sur \(]-\infty;-1/\sqrt3]\) et \([1/\sqrt3;+\infty[\), concave sur \([-1/\sqrt3;1/\sqrt3]\). Elle possède deux points d’inflexion, d’abscisses \(-1/\sqrt3\) et \(1/\sqrt3\).
Variations et nombre de solutions
Soit \(f(x)=e^x-x-2\) sur \(\mathbb R\).
- Étudier les variations de \(f\).
- Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet exactement deux solutions.
- Indiquer un encadrement entier pour chacune.
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\(f'(x)=e^x-1\). Ainsi \(f\) décroît sur \(]-\infty;0]\), puis croît sur \([0;+\infty[\), et \(f(0)=-1\).
\(f(x)\to+\infty\) aux deux extrémités. Par continuité et stricte monotonie sur chaque branche, il existe exactement deux zéros, l’un dans \(]-2;-1[\), l’autre dans \(]1;2[\).
EXERCICES DE SYNTHÈSE
Deux problèmes complets combinant plusieurs notions, avec corrigés intégrés.
Logarithme, continuité et concavité
On considère \(f(x)=\ln(x)-x+2\), définie pour \(x>0\).
- Étudier les limites de \(f\) aux bornes de son domaine.
- Étudier les variations et montrer que \(f(x)=0\) admet exactement deux solutions.
- Étudier la convexité de \(f\) et déterminer l’équation de la tangente en \(x=1\).
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Aux bornes, \(f(x)\to-\infty\) quand \(x\to0^+\) et quand \(x\to+\infty\). On a \(f'(x)=\frac1x-1\), donc \(f\) croît jusqu’à 1 puis décroît ; son maximum est \(f(1)=1\). Par continuité et stricte monotonie, elle possède exactement deux zéros, dans \(]0{,}1;1[\) et dans \(]1;4[\).
\(f''(x)=-1/x^2<0\) : \(f\) est concave. Comme \(f'(1)=0\), sa tangente en 1 a pour équation \(y=1\).
Polynôme : équations, convexité et tangente
On considère \(g(x)=x^3-3x+1\) sur \(\mathbb R\).
- Construire le tableau de variations de \(g\).
- Montrer que \(g(x)=0\) possède exactement trois solutions.
- Étudier la convexité, identifier le point d’inflexion et déterminer la tangente en ce point.
Afficher le corrigé
\(g'(x)=3(x^2-1)\) : \(g\) croît sur \(]-\infty;-1]\), décroît sur \([-1;1]\), puis croît sur \([1;+\infty[\). \(g(-1)=3\) et \(g(1)=-1\).
Les signes de \(g(-2)=-1\), \(g(-1)=3\), \(g(1)=-1\) et \(g(2)=3\), avec la monotonie et le TVI, prouvent l’existence de trois solutions exactement, dans \(]-2;-1[\), \(]-1;1[\) et \(]1;2[\).
\(g''(x)=6x\) change de signe en 0 : \(g\) est concave sur \(]-\infty;0]\), convexe sur \([0;+\infty[\), avec un point d’inflexion \((0;1)\). La tangente en 0 est \(y=-3x+1\).
FORMULAIRE
Un résumé illustré des définitions, théorèmes et propriétés, disponible en PDF.
Formulaire — Continuité et convexité (PDF)
Continuité, TVI, fonctions usuelles, dérivabilité, convexité, dérivée seconde, tangentes, inflexion et dichotomie. Fiche illustrée à consulter ou imprimer.
Objectif du chapitre
Savoir démontrer l’existence ou l’unicité d’une solution, construire un encadrement par dichotomie, étudier la convexité d’une fonction, reconnaître un point d’inflexion et utiliser les tangentes pour raisonner.