\(f(1)=-1<0\) et \(f(1{,}5)=0{,}25>0\). On garde donc \([1;1{,}5]\).
Objectif : Choisir la bonne moitié d’un intervalle par le signe de la fonction. Essaie de répondre aux quatre questions avant de dévoiler le corrigé.
1Un premier pas
Pour \(f(x)=x^2-2\) sur \([1;2]\), le milieu vaut \(1{,}5\). Quel sous-intervalle conserve-t-on après une étape de dichotomie ?
2Une autre fonction
Pour \(g(x)=x^3-2\) sur \([1;2]\), dans quelle moitié se trouve la racine après la première coupure ?
3Longueur de l’intervalle
La longueur initiale est \(4\). Quelle est-elle après \(3\) étapes de dichotomie ?
4Précision recherchée
On part d’un intervalle de longueur \(1\). Combien de dichotomies faut-il effectuer pour obtenir une longueur strictement inférieure à \(0{,}01\) ?
Afficher le corrigé détaillé des 4 questions
\(g(1)=-1\) et \(g(1{,}5)=1{,}375>0\). La racine se trouve dans \([1;1{,}5]\).
\(\dfrac{4}{2^3}=\dfrac48=\boxed{0{,}5}\).
Il faut \(\dfrac1{2^n}<0{,}01\), soit \(2^n>100\). \(2^6=64\) et \(2^7=128\), donc 7 étapes.
À retenir
À chaque étape de dichotomie, la longueur de l’intervalle est divisée par 2. Après \(n\) étapes, elle vaut \(\dfrac{b-a}{2^n}\).