Il existe au moins une solution par le TVI. Comme \(f\) est strictement croissante, il ne peut pas y en avoir deux. Il existe donc une unique solution.
Objectif : Savoir distinguer « au moins une solution » et « une seule solution ». Essaie de répondre aux quatre questions avant de dévoiler le corrigé.
1Fonction croissante
Une fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0;3]\), avec \(f(0)=-2\) et \(f(3)=4\). Combien de solutions a \(f(x)=0\) sur cet intervalle ?
2Monotonie manquante
Une fonction \(g\) continue sur \([0;2]\) vérifie \(g(0)=-1\) et \(g(2)=1\). Peut-on conclure à l’unicité d’une racine ?
3Étudier une dérivée
On pose \(h(x)=x^3+x-1\) sur \([0;1]\). Montrer que \(h(x)=0\) admet exactement une solution.
4Contre-exemple
Combien l’équation \(x^2-1=0\) possède-t-elle de solutions sur \([-2;2]\) ?
Afficher le corrigé détaillé des 4 questions
Non. Le TVI donne au moins une racine, mais la continuité seule n’empêche pas plusieurs zéros.
\(h\) est continue, \(h(0)=-1\) et \(h(1)=1\) : le TVI donne l’existence. De plus \(h\prime(x)=3x^2+1>0\), donc \(h\) est strictement croissante : la solution est unique.
Deux solutions : \(x=-1\) et \(x=1\). La fonction est continue, mais pas strictement monotone sur \([-2;2]\).
À retenir
Sur un intervalle, la continuité et des valeurs qui encadrent 0 assurent l’existence ; la stricte monotonie assure l’unicité.