Oui. \(0\) est compris entre \(-3\) et \(5\). Par le TVI, il existe au moins un \(c\in[-2;1]\) tel que \(f(c)=0\).
Objectif : Vérifier la continuité sur un intervalle et comparer les valeurs aux bornes. Essaie de répondre aux quatre questions avant de dévoiler le corrigé.
1Changement de signe
Une fonction \(f\) est continue sur \([-2;1]\) avec \(f(-2)=-3\) et \(f(1)=5\). Peut-on affirmer que \(f(x)=0\) admet une solution ?
2Valeurs positives
On sait que \(f\) est continue sur \([1;4]\), avec \(f(1)=2\) et \(f(4)=7\). Le TVI garantit-il une solution à \(f(x)=0\) ?
3Exemple avec une racine
Justifier que \(x^2-2=0\) admet au moins une solution dans \([1;2]\).
4Piège classique
Le TVI permet-il, à lui seul, d’affirmer qu’une équation possède une unique solution ?
Afficher le corrigé détaillé des 4 questions
Non. \(0\) n’est pas compris entre \(2\) et \(7\). Cela ne prouve ni l’existence ni l’absence d’une racine à l’intérieur.
La fonction \(f(x)=x^2-2\) est continue sur \([1;2]\). Or \(f(1)=-1<0\) et \(f(2)=2>0\). Le TVI garantit l’existence d’au moins une solution.
Non. Il garantit une existence. Pour l’unicité, il faut une information supplémentaire, par exemple la stricte monotonie de la fonction.
À retenir
Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), toute valeur comprise entre \(f(a)\) et \(f(b)\) est atteinte au moins une fois. Le TVI ne garantit pas l’unicité.