Oui. Toute fonction polynomiale est continue sur \(\mathbb{R}\).
Objectif : Reconnaître les fonctions continues et ne pas confondre continuité et dérivabilité. Essaie de répondre aux quatre questions avant de dévoiler le corrigé.
1Polynômes
Toute fonction polynomiale est-elle continue sur \(\mathbb{R}\) ?
2Valeur absolue
La fonction \(f(x)=|x|\) est-elle continue et dérivable en \(0\) ?
3Fonction rationnelle
Peut-on dire que \(g(x)=\dfrac{1}{x-2}\) est continue sur \([1;3]\) ?
4Fonction par morceaux
On définit \(h(x)=x+1\) si \(x\leq 1\), et \(h(x)=x^2+a\) si \(x>1\). Pour quelle valeur de \(a\) la fonction est-elle continue en \(1\) ?
Afficher le corrigé détaillé des 4 questions
Elle est continue en 0, mais non dérivable en 0 : les taux d’accroissement à gauche et à droite valent respectivement \(-1\) et \(1\).
Non : la fonction n’est pas définie en \(2\). Elle est continue sur chacun des intervalles \(]-\infty;2[\) et \(]2;+\infty[\).
À gauche et en \(1\), \(h(1)=2\). À droite, la limite vaut \(1+a\). Il faut \(1+a=2\), donc \(a=1\).
À retenir
Toute fonction dérivable en un point y est continue, mais la réciproque est fausse. Un quotient n’est continu que là où son dénominateur ne s’annule pas.