Terminale spécialité · Le cours

Continuité
et convexité

Quand une courbe franchit-elle une hauteur ? Pourquoi certaines tangentes restent-elles sous une courbe ? Des théorèmes à comprendre, des raisonnements à maîtriser et deux ateliers pour expérimenter.

TVI & unicitéDichotomieDérivée secondeInflexion
Avant de commencer

Ce qu’il faut déjà savoir

Ce chapitre fait le lien entre le comportement d’une fonction et l’allure de sa courbe. Tu vas apprendre à justifier l’existence d’une solution d’équation, puis à reconnaître et exploiter la convexité d’une fonction.

Prérequis

  • Lire un tableau de variations.
  • Calculer une dérivée et étudier son signe.
  • Utiliser des limites de fonctions.

Objectifs

  • Rédiger une application rigoureuse du TVI.
  • Encadrer une solution par dichotomie.
  • Déterminer convexité et inflexion à l’aide de \(f''\).
Partie I · Continuité

01. Qu’est-ce qu’une fonction continue ?

Définition en un point

Définition. Soit \(f\) définie sur un intervalle contenant \(a\). La fonction \(f\) est continue en \(a\) lorsque :
\[\boxed{\lim_{x\to a}f(x)=f(a)}\]
Elle est continue sur un intervalle lorsqu’elle est continue en chaque point de cet intervalle (avec les limites unilatérales adaptées aux bornes).

Graphiquement, une fonction continue ne présente pas de saut ni de « trou » sur son intervalle de définition. Cette image est une intuition : le critère mathématique reste la limite.

Propriété. Les fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, racine carrée sur son domaine, logarithme sur \(]0;+\infty[\), etc.) sont continues sur leurs intervalles de définition. Les sommes, produits, quotients à dénominateur non nul et composées de fonctions continues restent continues là où ces opérations ont un sens.

Dérivabilité et continuité

Théorème. Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). La réciproque est fausse.

Exemple : une fonction continue, mais non dérivable

La fonction \(f(x)=|x|\) est continue en \(0\), mais n’y est pas dérivable : son taux d’accroissement vaut \(1\) à droite de 0 et \(-1\) à gauche. Sa courbe possède une pointe.

Exemple : reconnaître une discontinuité

La fonction définie par \(f(x)=0\) pour \(x<0\) et \(f(x)=1\) pour \(x\geq 0\) n’est pas continue en \(0\) : la limite à gauche est \(0\), alors que \(f(0)=1\).

Suites et continuité. Si \(u_n\to \ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(u_n)\to f(\ell)\). On utilise notamment cette propriété pour chercher les limites éventuelles d’une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\).
Partie II · Le théorème fondamental

02. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Soit \(f\) continue sur \([a;b]\). Si \(k\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), alors il existe au moins un \(c\in[a;b]\) tel que :
\[\boxed{f(c)=k}\]

En particulier, si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés, l’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]a;b[\).

Courbe de x cube plus x moins 1 passant de f(0) négatif à f(1) positif et coupant l’axe des abscisses en alpha
Le TVI assure l’existence d’un passage par zéro. Il ne donne pas, à lui seul, l’unicité.
Attention. Le TVI ne dit pas que la solution est unique. Une fonction continue peut croiser plusieurs fois une même droite horizontale.

Quand peut-on dire « une unique solution » ?

Corollaire du TVI. Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a;b]\), alors tout \(k\) strictement compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) possède un unique antécédent \(c\in]a;b[\). Aux extrémités, l’unicité reste vraie pour \(k=f(a)\) ou \(k=f(b)\).

Exemple rédigé : \(x^3+x-1=0\)

Posons \(f(x)=x^3+x-1\) sur \([0;1]\).

  1. Continuité : \(f\) est un polynôme, donc continue sur \([0;1]\).
  2. Valeurs aux bornes : \(f(0)=-1<0\) et \(f(1)=1>0\).
  3. Existence : d’après le TVI, l’équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution \(\alpha\in]0;1[\).
  4. Unicité : \(f'(x)=3x^2+1>0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \([0;1]\). Cette solution est donc unique.

Conclusion : l’équation possède une unique solution \(\alpha\) sur \([0;1]\), avec \(\alpha\approx0{,}6823\).

Réflexe de rédaction : écrire dans cet ordre continue → valeurs aux bornes → TVI → monotonie → unicité. Une simple courbe à l’écran ne remplace pas cette justification.
Partie III · Calcul numérique

03. Encadrer une solution : la dichotomie

Une fois l’existence (et éventuellement l’unicité) établie, la dichotomie permet d’approcher la solution. On suppose ici que \(f\) est continue et que \(f(a)f(b)<0\).

  1. Calculer le milieu \(m=(a+b)/2\).
  2. Si \(f(m)=0\), la solution est exactement \(m\).
  3. Sinon, conserver la moitié de l’intervalle où les signes aux extrémités sont opposés.
  4. Recommencer : la largeur est divisée par deux à chaque étape.
Précision. Après \(n\) étapes, la largeur de l’encadrement est \(\frac{b-a}{2^n}\). Si l’on prend le milieu final comme valeur approchée, l’erreur absolue est au plus \(\frac{b-a}{2^{n+1}}\).

Les trois premiers tours sur \(f(x)=x^3+x-1\)

  1. \([0;1]\), milieu \(0{,}5\), \(f(0{,}5)=-0{,}375<0\) : on garde \([0{,}5;1]\).
  2. Milieu \(0{,}75\), \(f(0{,}75)=0{,}171875>0\) : on garde \([0{,}5;0{,}75]\).
  3. Milieu \(0{,}625\), \(f(0{,}625)=-0{,}130859375<0\) : on garde \([0{,}625;0{,}75]\).

Atelier 1 · Le laboratoire de dichotomie

À manipuler

Déplace le nombre d'étapes : observe le resserrement de l’intervalle qui contient \(\alpha\).

Afficher les étapes de calcul
ÉtapeGaucheDroiteMilieu essayéf(m)
Partie IV · Géométrie des courbes

04. Convexité et concavité

Une fonction peut être croissante sans être convexe, et convexe sans être croissante. Il faut distinguer le sens de variation de la façon dont la pente évolue.

Définition géométrique. Une fonction \(f\) est convexe sur un intervalle \(I\) lorsque, pour deux points quelconques de sa courbe d’abscisses dans \(I\), le segment qui les joint (la corde) reste au-dessus ou sur la courbe. Elle est concave lorsque la corde reste au-dessous ou sur la courbe.
Écriture mathématique. Pour tous \(x,y\in I\) et \(t\in[0;1]\), la convexité s’écrit
\[f((1-t)x+ty)\le (1-t)f(x)+t f(y).\]
Pour la concavité, on inverse le sens de l’inégalité. C’est la traduction algébrique de la propriété des cordes.
Comparaison d’une parabole convexe et d’une parabole concave avec tangente et corde
Convexe : les cordes au-dessus, les tangentes au-dessous. Concave : l’inverse.

Convexe

\(f(x)=x^2\) sur \(\mathbb R\). La pente des tangentes augmente lorsqu’on avance vers la droite.

Concave

\(g(x)=-x^2\) sur \(\mathbb R\). La pente des tangentes diminue lorsqu’on avance vers la droite.

Partie V · Le critère pratique

05. Reconnaître la convexité avec les dérivées

Théorème. Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) et dérivable sur son intérieur, alors \(f\) est convexe sur \(I\) si et seulement si \(f'\) est croissante sur l’intérieur de \(I\). Pour la concavité, \(f'\) est décroissante.
Critère de la dérivée seconde. Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) et deux fois dérivable sur son intérieur, alors :
\[\boxed{f''\ge 0\ \Longleftrightarrow\ f\text{ convexe}\qquad\qquad f''\le 0\ \Longleftrightarrow\ f\text{ concave}}\]
Les inégalités non strictes sont importantes : \(f''\) peut s’annuler en certains points.

La position de la courbe par rapport aux tangentes

Théorème. Si \(f\) est convexe et dérivable sur \(I\), sa courbe est au-dessus de toutes ses tangentes. À l’abscisse \(a\), la tangente a pour équation
\[T_a(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\]
et, pour tout \(x\in I\), \(f(x)\ge T_a(x)\). Si \(f\) est concave, le signe est inversé.

Exemple : démontrer une inégalité

Pour tout réel \(x\), on a \(e^x\ge 1+x\).

En effet, pour \(f(x)=e^x\), on a \(f''(x)=e^x>0\). La fonction exponentielle est donc convexe sur \(\mathbb R\). Sa tangente en \(0\) est la droite \(y=f(0)+f'(0)x=1+x\). La courbe se trouvant au-dessus de cette tangente, \(e^x\ge1+x\) pour tout \(x\in\mathbb R\).

La preuve de la propriété des tangentes

Supposons \(f''\ge0\) sur un intervalle. Fixons \(a\) et posons \(h(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)\). On a \(h'(x)=f'(x)-f'(a)\).

Comme \(f'\) est croissante, \(h'(x)\le0\) si \(x\le a\), et \(h'(x)\ge0\) si \(x\ge a\). Donc \(h\) atteint son minimum en \(a\), où \(h(a)=0\). Ainsi \(h(x)\ge0\), c’est-à-dire \(f(x)\ge f(a)+f'(a)(x-a)\).

Atelier 2 · Courbe et tangente

À manipuler

Choisis une fonction, puis déplace le point de tangence. Compare la courbe et sa tangente.

La position affichée est locale : pour \(x^3\), la fonction change de convexité en 0 et aucune même inégalité globale par rapport à la tangente en 0 ne caractérise une convexité sur tout \(\mathbb R\).

Partie VI · Changement de courbure

06. Les points d’inflexion

Définition. Un point de la courbe d’une fonction est un point d’inflexion lorsque la fonction change de convexité au passage de son abscisse : convexe d’un côté, concave de l’autre, ou inversement.
Courbe de x cube changeant de concave à convexe à l’origine et tangente horizontale
La courbe de \(f(x)=x^3\) change de convexité en 0 : \(O(0;0)\) est un point d’inflexion.
Critère très utile. Lorsque \(f''\) est définie de part et d’autre de \(a\), si \(f''\) change de signe au passage de \(a\), alors la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse \(a\) (avec les hypothèses de régularité usuelles sur \(f\)).

Exemple 1 : \(f(x)=x^3\)

\(f'(x)=3x^2\) et \(f''(x)=6x\). On a \(f''(x)<0\) pour \(x<0\), puis \(f''(x)>0\) pour \(x>0\). La fonction passe de concave à convexe en 0. Le point \(O(0;0)\) est un point d’inflexion.

Contre-exemple capital : \(g(x)=x^4\)

\(g''(x)=12x^2\). On a \(g''(0)=0\), mais \(g''(x)\ge0\) de part et d’autre de 0 : la courbe reste convexe et il n’y a pas de point d’inflexion en 0.

Piège à éviter absolument : \(f''(a)=0\) ne suffit pas pour conclure à un point d’inflexion. Il faut étudier le signe de \(f''\) de part et d’autre (ou directement le changement de convexité).
Partie VII · Rédiger au bac

07. Trois exemples à savoir refaire

Exemple A · Prouver qu’une équation admet une unique solution

On cherche les solutions de \(e^x=x+2\) sur \([0;2]\).

Soit \(h(x)=e^x-x-2\), continue sur \([0;2]\). On a \(h(0)=-1<0\) et \(h(2)=e^2-4>0\). Le TVI donne au moins une solution \(\alpha\in]0;2[\). De plus, \(h'(x)=e^x-1\ge0\), et \(h'(x)>0\) sur \(]0;2]\) : \(h\) est strictement croissante sur \([0;2]\). Il y a donc une unique solution sur cet intervalle.

Exemple B · Étudier la convexité d’une fonction

Pour \(f(x)=x^3-3x\), on obtient \(f'(x)=3x^2-3\), puis \(f''(x)=6x\).

  • Sur \(]-\infty;0[\), \(f''<0\), donc \(f\) est concave.
  • Sur \(]0;+\infty[\), \(f''>0\), donc \(f\) est convexe.
  • En 0, \(f''\) change de signe : \(O(0;0)\) est un point d’inflexion.

Exemple C · Utiliser une tangente pour prouver une inégalité

Soit \(f(x)=x^2\), convexe sur \(\mathbb R\) puisque \(f''(x)=2>0\). La tangente au point d’abscisse \(a\) est \(y=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2\). La propriété des tangentes donne alors, pour tous réels \(a,x\) :

\[\boxed{x^2\ge 2ax-a^2}\]

Cette inégalité correspond aussi à \((x-a)^2\ge0\).

Partie VIII · À surveiller

08. Les quatre confusions classiques

TVI ≠ unicitéContinuité et changement de signe prouvent seulement l’existence. L’unicité demande un argument supplémentaire.
Continuité ≠ dérivabilitéUne pointe est compatible avec la continuité. Exemple : \(|x|\) en 0.
Variations ≠ convexitéLe signe de \(f'\) donne les variations ; le signe de \(f''\) donne la convexité.
\(f''(a)=0\) ≠ inflexionIl faut un changement de convexité : \(x^4\) n’a pas d’inflexion en 0.
Partie IX · Synthèse

09. L’essentiel sur une page

Continuité\(\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\). Toute fonction dérivable est continue.
TVIContinue sur \([a;b]\) + valeur intermédiaire \(k\) ⇒ au moins une solution à \(f(x)=k\).
UnicitéContinuité + stricte monotonie ⇒ une unique solution pour chaque valeur intermédiaire.
DichotomieLa largeur de l’intervalle est divisée par 2 à chaque étape.
Convexité\(f'\) croissante ou \(f''\ge0\) ; la courbe est au-dessus de ses tangentes.
Concavité et inflexion\(f''\le0\) ⇒ concavité ; changement de signe de \(f''\) ⇒ inflexion.

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Partie X · Je vérifie

10. Quatre questions rapides

1. Une fonction continue change de signe sur un intervalle. A-t-on forcément une unique racine ?

Non. Le TVI garantit au moins une racine. Il faut par exemple la stricte monotonie pour garantir l’unicité.

2. Si \(f''(x)>0\) sur un intervalle, que peut-on en conclure ?

La fonction est convexe. Sa dérivée est croissante, et sa courbe est au-dessus de ses tangentes.

3. Pourquoi \(f(x)=x^4\) n’a-t-elle pas de point d’inflexion en 0 ?

Parce que \(f''(x)=12x^2\ge0\) des deux côtés de 0 : pas de changement de convexité.

4. Avec la dichotomie sur un intervalle de longueur 2, combien d’étapes faut-il pour une largeur inférieure à 0,001 ?

On veut \(2/2^n<0{,}001\), soit \(2^n>2000\). Comme \(2^{10}=1024\) et \(2^{11}=2048\), il faut 11 étapes.

Pour aller plus loin : l’explorateur de fonctions de Mission Maths permet d’étudier courbes et dérivées. La suite de ce chapitre accueillera les fiches Méthodes, Questions flash et Exercices.