Objectif : déterminer les variations, la convexité et les points remarquables de \(f\) à partir de la courbe de \(f'\), sans disposer de l’expression de \(f\).
Dans cette fiche, les fonctions sont supposées deux fois dérivables sur un voisinage des intervalles étudiés. Les graphiques représentent les dérivées, et non les fonctions elles-mêmes.
1. Séparer le signe et les variations de la dérivée
| Lecture sur \(f'\) | Information sur \(f\) |
|---|---|
| Courbe au-dessus de l’axe : \(f'>0\) | \(f\) est strictement croissante. |
| Courbe en dessous de l’axe : \(f'<0\) | \(f\) est strictement décroissante. |
| Courbe de \(f'\) montante | \(f'\) est croissante : \(f\) est convexe. |
| Courbe de \(f'\) descendante | \(f'\) est décroissante : \(f\) est concave. |
Pour les variations de \(f\), regarder la hauteur de \(f'\) par rapport à zéro.
Pour la convexité de \(f\), regarder si \(f'\) monte ou descend.
Une dérivée peut être négative et croissante : la fonction est alors décroissante et convexe. Les deux informations sont compatibles.
2. Distinguer deux sortes de points remarquables
Extremum de \(f\) : on recherche un changement de signe de \(f'\). Le passage de \(+\) à \(-\) donne un maximum local ; celui de \(-\) à \(+\) donne un minimum local.
Inflexion de \(f\) : on recherche un changement de convexité. Sur les graphiques étudiés ici, cela correspond à un changement de sens de variation de \(f'\) : croissante puis décroissante, ou l’inverse.
Un zéro de \(f'\) ne suffit pas à prouver un extremum. Si \(f'\) reste positive des deux côtés, \(f\) continue à croître.
Un point d’inflexion peut avoir une tangente inclinée. Il n’impose pas \(f'(a)=0\). On retrouve cette distinction dans la méthode 5.
3. La démarche en quatre étapes
1. Identifier la courbe
Vérifier qu’elle représente \(f'\), et préciser l’intervalle étudié.
2. Lire les signes
Repérer les zéros et les portions au-dessus ou en dessous de l’axe, puis déduire les variations de \(f\).
3. Lire les sens de variation
Repérer où \(f'\) monte ou descend, puis en déduire la convexité de \(f\).
4. Exploiter les données de \(f\)
Si \(f(a)\) est donné, calculer les coordonnées d’un point et sa tangente avec \(f'(a)\).
4. Un exemple entièrement corrigé
Énoncé. On connaît la courbe de \(f'\) sur \([-2\,;2]\), et \(f(0)=2\). Déterminer les variations de \(f\), sa convexité, ses extrema locaux intérieurs et son point d’inflexion. Calculer la tangente en ce dernier point.
Courbe de la dérivée f′
Les graduations et les points indiqués constituent les données exactes de la lecture graphique.
Étape 1 — Lire le signe de \(f'\)
La courbe est au-dessus de l’axe pour \(x<-1\) et \(x>1\), en dessous pour \(-1<x<1\). Elle coupe l’axe en \(-1\) et \(1\).
- \(f\) est strictement croissante sur \([-2\,;-1]\).
- \(f\) est strictement décroissante sur \([-1\,;1]\).
- \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;2]\).
Elle possède un maximum local en \(-1\) et un minimum local en \(1\). Leurs ordonnées ne sont pas fournies par le graphe de \(f'\).
Étape 2 — Lire les variations de \(f'\)
La dérivée décroît sur \([-2\,;0]\), puis croît sur \([0\,;2]\). Ainsi, \(f\) est concave sur \([-2\,;0]\) et convexe sur \([0\,;2]\).
Étape 3 — Donner le point d’inflexion
La convexité change en \(0\). Comme \(f(0)=2\), le point d’inflexion est \(\boxed{A(0\,;2)}\).
La valeur lue au minimum de la courbe est \(f'(0)=-1\). Ce minimum appartient à la courbe de la dérivée ; son ordonnée n’est pas \(f(0)\).
Étape 4 — Calculer la tangente en \(A\)
La tangente au point d’inflexion est inclinée. Le point \(A\) n’est pas un extremum de \(f\), puisque \(f'(0)=-1\neq0\).
Rédaction type pour la convexité : « La dérivée \(f'\) est strictement décroissante sur \([a\,;b]\), donc \(f\) est concave sur cet intervalle. Elle est ensuite strictement croissante sur \([b\,;c]\), donc \(f\) est convexe sur cet intervalle. La convexité change en \(b\), qui est intérieur au domaine : il y a un point d’inflexion d’abscisse \(b\). »
5. Les pièges fréquents
- Lire les variations de \(f'\) comme celles de \(f\). Les variations de \(f\) viennent du signe de \(f'\).
- Déduire le signe de \(f\) de celui de \(f'\). Une dérivée négative indique une fonction décroissante, sans donner ses ordonnées.
- Confondre un maximum de \(f'\) avec un maximum de \(f\). Le premier sert ici à repérer un changement de convexité.
- Placer une inflexion à chaque zéro de \(f'\). Il faut vérifier le changement de convexité.
- Lire \(f'(a)\) comme \(f(a)\). La pente de la tangente ne donne pas l’ordonnée du point.
- Inventer les ordonnées des extrema. Sans données sur \(f\), on peut donner leurs abscisses, mais pas leurs coordonnées complètes.
- Conclure que la fonction cesse de croître à un zéro isolé de la dérivée. Il faut regarder les signes de part et d’autre.
6. Exercices d’application
Chaque question possède un corrigé détaillé. Les quatre graphiques de la fiche sont des courbes de dérivées.
Exercice 1 — Un zéro sans inflexion
On connaît la courbe de \(g'\) sur \([-1\,;3]\), avec \(g(2)=5\).
Courbe de la dérivée g′
Les graduations et les points indiqués constituent les données exactes de la lecture graphique.
1. Donner les variations de \(g\) et ses extrema locaux intérieurs.
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La dérivée est positive avant \(2\), nulle en \(2\) et négative après. Ainsi, \(g\) est strictement croissante sur \([-1\,;2]\), puis strictement décroissante sur \([2\,;3]\).
Le passage de \(+\) à \(-\) donne un maximum local en \(2\). Avec la donnée \(g(2)=5\), ses coordonnées sont \((2\,;5)\).
2. Étudier la convexité de \(g\). Y a-t-il un point d’inflexion en \(2\) ?
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La dérivée \(g'\) est strictement décroissante sur tout \([-1\,;3]\). La fonction \(g\) est donc concave sur tout cet intervalle.
Elle ne change pas de convexité en \(2\) : il n’y a pas de point d’inflexion en cette abscisse, même si \(g'(2)=0\).
3. Calculer la tangente à la courbe de \(g\) en \(2\) et comparer \(g(x)\) à \(5\) sur l’intervalle.
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On lit \(g'(2)=0\) et on connaît \(g(2)=5\). La tangente a donc pour équation \(\boxed{y=5}\).
Comme \(g\) est concave, sa courbe est en dessous de cette tangente :
On retrouve cette comparaison avec le maximum déjà établi.
Exercice 2 — Une inflexion sans extremum
On connaît la courbe de \(h'\) sur \([-1\,;3]\), avec \(h(1)=4\).
Courbe de la dérivée h′
Les graduations et les points indiqués constituent les données exactes de la lecture graphique.
1. Donner les variations de \(h\). Le point d’abscisse \(1\) est-il un extremum ?
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La dérivée est positive pour \(x\neq1\), et nulle en \(1\). La fonction est strictement croissante sur \([-1\,;1]\) et sur \([1\,;3]\), donc sur tout \([-1\,;3]\).
Le signe de la dérivée ne change pas en \(1\). Il n’y a donc pas d’extremum local en ce point.
2. Étudier la convexité de \(h\) et déterminer son point d’inflexion.
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La dérivée \(h'\) décroît sur \([-1\,;1]\), puis croît sur \([1\,;3]\). Ainsi, \(h\) est concave sur le premier intervalle et convexe sur le second.
La convexité change en \(1\). Avec \(h(1)=4\), le point d’inflexion est \(\boxed{A(1\,;4)}\).
3. Calculer la tangente en \(A\) et préciser la position de la courbe de part et d’autre.
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On lit \(h'(1)=0\). La tangente a pour équation \(\boxed{y=4}\).
Comme \(h\) est strictement croissante et \(h(1)=4\), on a \(h(x)<4\) pour \(x<1\), et \(h(x)>4\) pour \(x>1\), dans l’intervalle étudié.
La courbe traverse sa tangente horizontale au point d’inflexion, sans présenter d’extremum.
Exercice 3 — Séparer toutes les lectures
On connaît la courbe de \(u'\) sur \([-2\,;2]\). Les zéros indiqués sont exactement \(-\sqrt3\), \(0\) et \(\sqrt3\). On donne \(u(-1)=u(1)=3\).
Courbe de la dérivée u′
Les graduations et les points indiqués constituent les données exactes de la lecture graphique.
1. Donner les variations de \(u\) et les abscisses de ses extrema locaux intérieurs.
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La dérivée est négative sur \([-2\,;-\sqrt3[\), positive sur \(]-\sqrt3\,;0[\), négative sur \(]0\,;\sqrt3[\), puis positive sur \(]\sqrt3\,;2]\).
- \(u\) décroît sur \([-2\,;-\sqrt3]\).
- \(u\) croît sur \([-\sqrt3\,;0]\).
- \(u\) décroît sur \([0\,;\sqrt3]\).
- \(u\) croît sur \([\sqrt3\,;2]\).
Il y a deux minima locaux en \(-\sqrt3\) et \(\sqrt3\), et un maximum local en \(0\). Leurs ordonnées ne sont pas demandées.
2. Donner les intervalles de convexité et de concavité de \(u\), puis les abscisses de ses points d’inflexion.
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La dérivée croît sur \([-2\,;-1]\), décroît sur \([-1\,;1]\), puis croît sur \([1\,;2]\).
- \(u\) est convexe sur \([-2\,;-1]\) et sur \([1\,;2]\).
- \(u\) est concave sur \([-1\,;1]\).
La convexité change en \(-1\) et en \(1\). Ces deux abscisses donnent les points d’inflexion. En \(0\), la dérivée s’annule mais continue à décroître : il n’y a pas d’inflexion.
3. Donner les coordonnées des deux points d’inflexion et les équations de leurs tangentes.
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Avec les valeurs fournies, les points sont \(\boxed{A(-1\,;3)}\) et \(\boxed{B(1\,;3)}\).
On lit \(u'(-1)=2\) et \(u'(1)=-2\). Les tangentes sont donc :
Aucune des deux tangentes n’est horizontale.
- Vérifier que le graphe représente la dérivée.
- Lire le signe de \(f'\) pour les variations de \(f\).
- Lire les variations de \(f'\) pour la convexité de \(f\).
- Distinguer changements de signe et changements de sens de variation.
- Utiliser les valeurs de \(f\) données pour les coordonnées et les tangentes.