Objectif : justifier un point d’inflexion, calculer la tangente en ce point, puis préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente.
Cette fiche prolonge la méthode 2 sur la convexité et utilise l’équation de la tangente vue dans la méthode 3.
1. Un changement de convexité à justifier
Un point \(A(a\,;f(a))\) est un point d’inflexion lorsque la fonction change de convexité en \(a\). L’abscisse \(a\) doit être intérieure à l’intervalle étudié et appartenir au domaine de la fonction.
Pour les fonctions deux fois dérivables étudiées dans cette fiche, on recherche les zéros de \(f''\), puis on vérifie un changement de signe de part et d’autre :
- \(f''<0\) à gauche et \(f''>0\) à droite : passage de concave à convexe ;
- \(f''>0\) à gauche et \(f''<0\) à droite : passage de convexe à concave.
On calcule ensuite \(f(a)\) pour donner les deux coordonnées du point.
Un zéro de la dérivée seconde n’est qu’un candidat. L’égalité \(f''(a)=0\) ne suffit pas à prouver l’inflexion : il faut établir le changement de convexité.
2. La démarche en quatre étapes
1. Confirmer l’inflexion
Étudier le signe de \(f''\) et vérifier que la convexité change en \(a\).
2. Donner les coordonnées
Calculer \(f(a)\), puis écrire \(A(a\,;f(a))\).
3. Calculer la tangente
Calculer \(f'(a)\) et utiliser \(T_a(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\).
4. Comparer la courbe et la droite
Étudier le signe de \(d(x)=f(x)-T_a(x)\), ou utiliser la convexité sur chaque intervalle.
| Signe de \(d(x)=f(x)-T_a(x)\) | Position de la courbe |
|---|---|
| \(d(x)>0\) | Au-dessus de la tangente. |
| \(d(x)<0\) | En dessous de la tangente. |
| \(d(x)=0\) | La courbe et la tangente ont la même ordonnée à cette abscisse. |
Deux dérivées, deux rôles : \(f''\) permet d’étudier la convexité ; \(f'(a)\) donne le coefficient directeur de la tangente.
3. Un exemple entièrement corrigé
Énoncé. On considère la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
Déterminer son point d’inflexion, l’équation de la tangente en ce point et la position de la courbe par rapport à cette tangente.
Étape 1 — Justifier le changement de convexité
La fonction est polynomiale, donc deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). On obtient :
| Expression | \(x<1\) | \(x=1\) | \(x>1\) |
|---|---|---|---|
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
La fonction \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;1]\) et convexe sur \([1\,;+\infty[\). La dérivée seconde s’annule en \(1\) en changeant de signe : il y a une inflexion à cette abscisse.
Étape 2 — Donner les coordonnées
La courbe admet un unique point d’inflexion : \(\boxed{A(1\,;1)}\).
Étape 3 — Calculer la tangente
On calcule \(f'(1)=3-6+2=-1\). La tangente en \(A\) a donc pour équation :
Sa pente vaut \(-1\) : elle n’est pas horizontale.
Étape 4 — Étudier la différence
On note \(T(x)=2-x\). Pour tout réel \(x\) :
| Expression | \(x<1\) | \(x=1\) | \(x>1\) |
|---|---|---|---|
| \(d(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
- Pour \(x<1\), \(f(x)<2-x\) : la courbe est en dessous de la tangente.
- Pour \(x=1\), \(f(1)=T(1)=1\) : la courbe et la tangente se rencontrent en \(A\).
- Pour \(x>1\), \(f(x)>2-x\) : la courbe est au-dessus de la tangente.
La courbe traverse donc sa tangente au point d’inflexion \(A\).
Visualiser le passage de part et d’autre de la tangente
Trait vert : courbe. Pointillés violets : tangente. Le dessin représente leur position relative, sans graduations.
4. Une rédaction type
« La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l’intervalle étudié. Sa dérivée seconde change de signe en \(a\), qui est intérieur à cet intervalle. La convexité change donc en \(a\), et la courbe admet un point d’inflexion \(A(a\,;f(a))\).
La tangente en \(A\) a pour équation :
On note \(T_a(x)\) son expression. Le signe de \(f(x)-T_a(x)\) permet ensuite de préciser la position de la courbe par rapport à cette tangente. »
Dans la rédaction finale, on remplace \(a\), \(f(a)\) et \(f'(a)\) par leurs valeurs, puis on donne les intervalles correspondant à chaque position.
5. Distinguer inflexion, tangente horizontale et extremum
| Ce que l’on cherche | Ce que l’on étudie | Ce qu’il faut retenir |
|---|---|---|
| Point d’inflexion | Changement de convexité, étudié ici avec \(f''\). | La tangente peut être inclinée ou horizontale. |
| Tangente horizontale | \(f'(a)=0\). | Cela ne suffit à prouver ni un extremum ni une inflexion. |
| Extremum local | Valeurs de \(f\) au voisinage du point ; souvent le signe de \(f'\). | Pour une fonction dérivable, un extremum en un point intérieur impose \(f'(a)=0\). |
Deux exemples à mémoriser : \(x\mapsto x^3\) possède en \(0\) un point d’inflexion avec une tangente horizontale, mais aucun extremum. La fonction \(x\mapsto x^2\) possède en \(0\) un minimum avec une tangente horizontale, mais aucune inflexion.
Dans notre exemple corrigé, \(f'(1)=-1\neq0\) : le point d’inflexion \(A\) n’est pas un extremum local.
6. Les pièges fréquents
- S’arrêter à \(f''(a)=0\). Il faut vérifier le changement de convexité.
- Écrire seulement l’abscisse. Le point a deux coordonnées : \(A(a\,;f(a))\).
- Mettre \(f''(a)\) dans l’équation de la tangente. Son coefficient directeur est \(f'(a)\).
- Supposer la tangente horizontale. Une inflexion n’impose pas \(f'(a)=0\).
- Inverser la différence. Avec \(f(x)-T_a(x)>0\), la courbe est au-dessus. Si l’on calcule \(T_a(x)-f(x)\), les interprétations s’inversent.
- Placer un point à une abscisse exclue. Un point d’inflexion doit appartenir à la courbe.
- Étendre une comparaison sans justification. Il faut préciser l’intervalle sur lequel le signe de la différence, ou la convexité utilisée, a été établi.
7. Exercices d’application
Chaque question possède un corrigé détaillé à déplier. Donne les coordonnées des points, l’équation de la tangente et les intervalles de comparaison.
Exercice 1 — Une tangente inclinée
On considère \(g(x)=x^3-6x^2+9x+1\) sur \(\mathbb R\).
1. Calculer \(g'\) et \(g''\), puis déterminer le point d’inflexion de la courbe de \(g\).
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction \(g\) est polynomiale, donc deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). On obtient :
| Expression | \(x<2\) | \(x=2\) | \(x>2\) |
|---|---|---|---|
| \(g''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
La fonction \(g\) est concave sur \(]-\infty\,;2]\) et convexe sur \([2\,;+\infty[\). Le changement de signe en \(2\) justifie l’inflexion.
Le point d’inflexion est \(\boxed{B(2\,;3)}\).
2. Déterminer l’équation de la tangente en \(B\). Est-elle horizontale ?
Afficher le corrigé de la question 2
On a \(g'(2)=12-24+9=-3\). Ainsi :
Le coefficient directeur vaut \(-3\), donc la tangente n’est pas horizontale.
3. Montrer que \(g(x)-(9-3x)=(x-2)^3\), puis étudier la position de la courbe par rapport à cette tangente.
Afficher le corrigé de la question 3
On calcule :
La différence est négative pour \(x<2\), nulle pour \(x=2\) et positive pour \(x>2\).
- Sur \(]-\infty\,;2[\), la courbe est en dessous de la tangente.
- En \(B(2\,;3)\), la courbe et la tangente se rencontrent.
- Sur \(]2\,;+\infty[\), la courbe est au-dessus de la tangente.
La courbe traverse sa tangente en \(B\).
Exercice 2 — Une fonction avec une exponentielle
On considère \(h(x)=xe^{-x}\) sur \(\mathbb R\).
1. Calculer \(h'\) et \(h''\), puis déterminer le point d’inflexion de la courbe de \(h\).
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction \(h\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). En utilisant la dérivée d’un produit :
Comme \(e^{-x}>0\), \(h''(x)\) a le signe de \(x-2\).
| Expression | \(x<2\) | \(x=2\) | \(x>2\) |
|---|---|---|---|
| \(h''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
La fonction \(h\) est concave sur \(]-\infty\,;2]\) et convexe sur \([2\,;+\infty[\). La convexité change en \(2\).
Comme \(h(2)=2e^{-2}=2/e^2\), le point d’inflexion est :
2. Calculer l’équation de la tangente en \(C\).
Afficher le corrigé de la question 2
On a \(h'(2)=-e^{-2}\). La tangente a pour équation :
3. Utiliser la convexité pour comparer \(h(x)\) à \(\dfrac{4-x}{e^2}\) de part et d’autre de \(2\). Justifier que la courbe traverse la tangente en \(C\).
Afficher le corrigé de la question 3
Sur \(]-\infty\,;2]\), la fonction \(h\) est concave : sa courbe est en dessous de sa tangente en \(2\). Sur \([2\,;+\infty[\), elle est convexe : sa courbe est au-dessus de cette tangente.
Pour justifier le passage strict : on pose \(d(x)=h(x)-(4-x)e^{-2}\). Alors \(d'(x)=h'(x)+e^{-2}\).
Comme \(h''\) est négative avant \(2\) et positive après, \(h'\) est strictement décroissante jusqu’à \(2\), puis strictement croissante. Elle admet un unique minimum \(h'(2)=-e^{-2}\).
On a donc \(d'(x)>0\) pour \(x\neq2\), et \(d'(2)=0\). La fonction \(d\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Puisque \(d(2)=0\), elle est négative avant \(2\) et positive après.
La courbe est strictement en dessous à gauche de \(C\), strictement au-dessus à droite, et traverse la tangente en ce point.
Exercice 3 — Trois conclusions à vérifier
Les questions sont indépendantes. Pour chacune, justifie soigneusement ce que l’on peut conclure.
1. Pour \(u(x)=x^4+2x-1\), un élève affirme : « \(u''(0)=0\), donc \(A(0\,;-1)\) est un point d’inflexion. » Vérifier l’affirmation et calculer la tangente en \(0\).
Afficher le corrigé de la question 1
On a \(u'(x)=4x^3+2\) et \(u''(x)=12x^2\geq0\) sur \(\mathbb R\). La dérivée seconde s’annule en \(0\), mais ne change pas de signe.
La fonction reste convexe des deux côtés de \(0\) : l’affirmation est fausse.
Comme \(u(0)=-1\) et \(u'(0)=2\), la tangente a pour équation \(y=2x-1\).
La courbe reste au-dessus de cette tangente et la touche en \(A\), sans la traverser.
2. Pour \(v(x)=x^3+2x-1\), un élève affirme : « \(v'(0)\neq0\), donc il ne peut pas y avoir de point d’inflexion en \(0\). » Vérifier l’affirmation et comparer avec la question 1.
Afficher le corrigé de la question 2
On a \(v'(x)=3x^2+2\), donc \(v'(0)=2\neq0\). Cependant, \(v''(x)=6x\) change de signe en \(0\) : la fonction passe de concave à convexe.
Comme \(v(0)=-1\), la courbe admet bien un point d’inflexion \(A(0\,;-1)\). L’affirmation est fausse.
La tangente est encore \(y=2x-1\), mais la différence vaut cette fois :
Elle est négative avant \(0\) et positive après : la courbe traverse cette tangente.
Même point et même tangente dans les deux questions, mais seule la courbe de \(v\) possède une inflexion en ce point.
3. Pour \(w(x)=\dfrac1x\), un élève affirme : « \(w''\) est négative avant \(0\) et positive après, donc il y a un point d’inflexion en \(0\). » Expliquer le problème.
Afficher le corrigé de la question 3
La fonction \(w\) est définie sur \(\mathbb R\setminus\{0\}\). Pour \(x\neq0\), on obtient \(w''(x)=2/x^3\) : elle est négative sur \(]-\infty\,;0[\) et positive sur \(]0\,;+\infty[\).
Mais \(w(0)\) n’existe pas. Il n’y a aucun point de la courbe d’abscisse \(0\), donc aucun point d’inflexion à cette abscisse.
L’affirmation est fausse : le domaine doit toujours être vérifié.
- Vérifier le domaine et le changement de signe de \(f''\).
- Calculer l’ordonnée \(f(a)\) et donner le point d’inflexion.
- Calculer \(f'(a)\), puis l’équation de la tangente.
- Étudier \(f-T_a\) pour comparer la courbe et la droite.
- Préciser les intervalles et distinguer inflexion, extremum et tangente horizontale.