Objectif : déterminer les intervalles sur lesquels une fonction est convexe ou concave, puis rechercher ses éventuels points d’inflexion.
Pour une fonction deux fois dérivable, la démarche consiste à calculer \(f''\), à étudier son signe et à traduire le résultat en termes de convexité.
1. Les deux critères à connaître
On suppose que \(f\) est deux fois dérivable sur un intervalle \(I\). Pour tout intervalle \(J\) inclus dans \(I\) :
| Signe de \(f''\) sur \(J\) | Variations de \(f'\) sur \(J\) | Convexité de \(f\) sur \(J\) |
|---|---|---|
| \(f''\geq0\) | \(f'\) croissante | \(f\) convexe |
| \(f''\leq0\) | \(f'\) décroissante | \(f\) concave |
Les inégalités sont larges : une fonction affine, dont la dérivée seconde est nulle, est à la fois convexe et concave.
Ne pas confondre les deux études : le signe de \(f'\) donne les variations de \(f\) ; le signe de \(f''\) donne sa convexité.
Une fonction peut être décroissante et convexe, ou croissante et concave.
2. La démarche en quatre étapes
1. Préciser l’intervalle
Vérifier le domaine de définition et la dérivabilité. Si le domaine comporte plusieurs intervalles, les étudier séparément.
2. Calculer deux dérivées
Calculer \(f'\), puis \(f''\). Simplifier ou factoriser \(f''\) pour faciliter l’étude de son signe.
3. Étudier le signe de \(f''\)
Rechercher les zéros de \(f''\) qui appartiennent au domaine, puis construire un tableau de signes complet.
4. Conclure et chercher les inflexions
Donner les intervalles de convexité et de concavité. Si la convexité change en une abscisse \(a\), calculer \(f(a)\) pour donner les coordonnées du point d’inflexion.
Un réflexe utile : pour tout réel \(x\), \(e^x>0\). Dans une expression comme \((x+1)e^x\), l’exponentielle ne change donc pas le signe du produit.
De même, un carré non nul est strictement positif. Il faut toujours vérifier où les facteurs sont définis et où ils peuvent s’annuler.
3. Une rédaction type
« La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur l’intervalle étudié. On calcule sa dérivée seconde, puis on étudie son signe.
Sur l’intervalle \(J\), on a \(f''(x)\leq0\). La fonction \(f\) est donc concave sur \(J\).
Sur l’intervalle \(K\), on a \(f''(x)\geq0\). La fonction \(f\) est donc convexe sur \(K\).
La dérivée seconde s’annule en \(a\) en changeant de signe. La convexité change donc en \(a\), qui est un point intérieur du domaine étudié. Le point \(A(a\,;f(a))\) est un point d’inflexion. »
On adapte cette rédaction au tableau de signes obtenu. Il peut y avoir plusieurs changements de convexité, ou aucun.
4. Un exemple entièrement corrigé
Énoncé. On considère la fonction définie sur \(\mathbb R\) par :
Étudier sa convexité et déterminer ses éventuels points d’inflexion.
Étape 1 — Vérifier les hypothèses
La fonction \(f\) est un produit d’une fonction polynomiale et de la fonction exponentielle. Elle est donc deux fois dérivable sur \(\mathbb R\).
Étape 2 — Calculer les dérivées
On utilise la formule de dérivation d’un produit :
Étape 3 — Étudier le signe de \(f''\)
Pour tout réel \(x\), \(e^x>0\). Ainsi, \(f''(x)\) a le même signe que \(x+1\), qui s’annule en \(-1\).
| Facteur / expression | \(x<-1\) | \(x=-1\) | \(x>-1\) |
|---|---|---|---|
| \(x+1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(e^x\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Étape 4 — Conclure sur la convexité
- Sur \(]-\infty\,;-1]\), on a \(f''\leq0\) : \(f\) est concave.
- Sur \([-1\,;+\infty[\), on a \(f''\geq0\) : \(f\) est convexe.
La dérivée seconde s’annule en \(-1\) en passant du signe négatif au signe positif. La convexité change donc en \(-1\).
On calcule l’ordonnée du point correspondant :
La courbe de \(f\) admet un unique point d’inflexion :
Convexe ne signifie pas croissante. Dans cet exemple, sur \(]-1\,;0[\), on a \(f'(x)=xe^x<0\) et \(f''(x)=(x+1)e^x>0\).
Sur cet intervalle, la fonction est donc décroissante et convexe.
5. Reconnaître un point d’inflexion
Un point \(A(a\,;f(a))\) de la courbe est un point d’inflexion lorsque la fonction change de convexité en \(a\).
Dans une étude à l’aide de \(f''\), on vérifie que \(a\) est intérieur à l’intervalle étudié et que \(f''\) s’annule en changeant de signe :
- de \(-\) à \(+\) : passage de concave à convexe ;
- de \(+\) à \(-\) : passage de convexe à concave.
On donne ensuite les deux coordonnées du point : \(a\) et \(f(a)\).
Un zéro de \(f''\) n’est qu’un candidat. L’égalité \(f''(a)=0\) ne suffit pas à prouver l’existence d’un point d’inflexion : il faut vérifier le changement de convexité.
Par exemple, pour \(h(x)=x^4\), on a \(h''(x)=12x^2\geq0\) sur \(\mathbb R\). Même si \(h''(0)=0\), la fonction reste convexe de part et d’autre de \(0\). Il n’y a donc pas de point d’inflexion en \(0\).
6. Les pièges fréquents
- Étudier le signe de \(f'\) à la place de celui de \(f''\). Le premier donne les variations de \(f\), le second sa convexité.
- Conclure à partir d’une seule valeur de \(f''\). Il faut étudier le signe sur tout l’intervalle considéré.
- Annoncer une inflexion dès que \(f''(a)=0\). On doit vérifier le changement de convexité.
- Oublier l’ordonnée du point. \(a\) est une abscisse ; le point d’inflexion s’écrit \(A(a\,;f(a))\).
- Oublier le domaine de définition. Une valeur exclue du domaine ne peut pas être l’abscisse d’un point de la courbe.
Exemple de valeur exclue : pour \(r(x)=\dfrac1x\), on a \(r''(x)=\dfrac{2}{x^3}\). Cette dérivée seconde est négative sur \(]-\infty\,;0[\) et positive sur \(]0\,;+\infty[\).
Mais \(r\) n’est pas définie en \(0\) : il n’existe aucun point de sa courbe d’abscisse \(0\). On ne peut donc pas y placer un point d’inflexion.
7. Exercices d’application
Chaque question possède un corrigé détaillé à déplier. Rédige les intervalles et les coordonnées des points avant d’afficher la correction.
Exercice 1 — Un polynôme du troisième degré
On considère la fonction \(u(x)=x^3-3x^2+2\), définie sur \(\mathbb R\).
1. Calculer \(u'(x)\), puis \(u''(x)\).
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La fonction \(u\) est polynomiale, donc deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). On dérive deux fois :
2. Étudier le signe de \(u''\) et en déduire la convexité de \(u\).
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Comme \(6>0\), la dérivée seconde \(u''(x)=6(x-1)\) a le même signe que \(x-1\).
| Expression | \(x<1\) | \(x=1\) | \(x>1\) |
|---|---|---|---|
| \(u''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
- Sur \(]-\infty\,;1]\), on a \(u''\leq0\) : \(u\) est concave.
- Sur \([1\,;+\infty[\), on a \(u''\geq0\) : \(u\) est convexe.
3. Déterminer les coordonnées du point d’inflexion de la courbe de \(u\).
Afficher le corrigé de la question 3
La dérivée seconde s’annule en \(1\) et change de signe, de négatif à positif. La convexité change donc en \(1\).
La courbe admet un unique point d’inflexion :
Exercice 2 — Deux changements de convexité
On considère la fonction \(g(x)=x^4-2x^2\), définie sur \(\mathbb R\).
1. Calculer \(g''(x)\) et résoudre \(g''(x)=0\).
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction \(g\) est polynomiale, donc deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). On obtient :
On résout :
Pour la suite, on note \(a=\dfrac{\sqrt3}{3}>0\).
2. Construire le tableau de signes de \(g''\), puis donner les intervalles de convexité et de concavité de \(g\).
Afficher le corrigé de la question 2
Avec \(a=\dfrac{\sqrt3}{3}\), on a \(g''(x)=12(x+a)(x-a)\). Le produit est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.
| Expression | \(x<-a\) | \(x=-a\) | \(-a<x<a\) | \(x=a\) | \(x>a\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(g''(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
- \(g\) est convexe sur \(]-\infty\,;-a]\) et sur \([a\,;+\infty[\).
- \(g\) est concave sur \([-a\,;a]\).
Les bornes \(-a\) et \(a\) peuvent être incluses, car \(g''\) y est nulle.
3. Déterminer tous les points d’inflexion de la courbe de \(g\).
Afficher le corrigé de la question 3
On reprend \(a=\dfrac{\sqrt3}{3}\). La dérivée seconde change de signe en \(-a\) et en \(a\). Il y a donc un point d’inflexion à chacune de ces abscisses.
Comme \(a^2=\dfrac13\) et \(a^4=\dfrac19\), on obtient :
La fonction \(g\) est paire, donc \(g(-a)=g(a)=-\dfrac59\).
Les deux points d’inflexion sont :
Exercice 3 — Éviter un faux point d’inflexion
On considère la fonction \(h(x)=x^4\), définie sur \(\mathbb R\).
1. Calculer \(h''\) et étudier la convexité de \(h\).
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction \(h\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\), et :
La fonction \(h\) est donc convexe sur \(\mathbb R\).
2. Un élève affirme : « Puisque \(h''(0)=0\), le point \(O(0\,;0)\) est un point d’inflexion. » Expliquer pourquoi cette affirmation est fausse.
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La dérivée seconde s’annule en \(0\), mais elle ne change pas de signe :
| Expression | \(x<0\) | \(x=0\) | \(x>0\) |
|---|---|---|---|
| \(h''(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
La fonction reste convexe des deux côtés de \(0\). Il n’y a donc aucun changement de convexité.
Le point \(O(0\,;0)\) n’est pas un point d’inflexion de la courbe de \(h\).
3. Comparer avec la fonction \(k(x)=x^3\). Sa courbe admet-elle un point d’inflexion en \(0\) ? Justifier.
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La fonction \(k\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\), avec :
La dérivée seconde est négative pour \(x<0\), nulle en \(0\) et positive pour \(x>0\).
Ainsi, \(k\) est concave sur \(]-\infty\,;0]\), puis convexe sur \([0\,;+\infty[\). La convexité change en \(0\), et \(k(0)=0\).
La courbe de \(k\) admet donc un point d’inflexion :
La différence essentielle : pour \(x^3\), la dérivée seconde change de signe en \(0\) ; pour \(x^4\), elle ne change pas de signe.
- Préciser l’intervalle et vérifier les hypothèses de dérivabilité.
- Calculer \(f'\), puis \(f''\).
- Factoriser \(f''\) et construire son tableau de signes.
- Conclure : \(f''\geq0\) → convexe ; \(f''\leq0\) → concave.
- Repérer les changements de convexité et calculer les coordonnées \(A(a\,;f(a))\).