Objectif : utiliser la position d’une courbe par rapport à une tangente pour comparer deux expressions et démontrer une inégalité sur tout un intervalle.
Cette méthode permet notamment de prouver \(e^x\geq1+x\) ou \(\ln x\leq x-1\), en précisant à chaque fois le domaine de validité.
1. Calculer l’équation d’une tangente
Soit une fonction \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\), et \(a\) un point intérieur de \(I\). La tangente à sa courbe au point \(A(a\,;f(a))\) a pour équation :
On note \(T_a(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\) l’expression affine qui donne l’ordonnée d’un point de cette tangente.
Deux calculs indispensables : \(f(a)\) donne l’ordonnée du point de contact, et \(f'(a)\) donne le coefficient directeur de la tangente.
Pour l’équation de la tangente, on utilise bien \(f'\), et non \(f''\).
2. Traduire la convexité en une inégalité
| Hypothèse sur \(I\) | Position de la courbe | Pour tout \(x\in I\) |
|---|---|---|
| \(f\) convexe | Au-dessus de ses tangentes | \(f(x)\geq T_a(x)\) |
| \(f\) concave | En dessous de ses tangentes | \(f(x)\leq T_a(x)\) |
Une fonction convexe
Une fonction concave
Trait vert : courbe de la fonction. Pointillés violets : tangente. Les schémas illustrent la position relative, sans graduations.
3. La démarche en quatre étapes
1. Choisir la fonction et le point
Identifier la fonction \(f\), son intervalle de définition \(I\) et une abscisse de contact \(a\) qui permet d’obtenir l’expression affine recherchée.
2. Justifier la convexité
Montrer que \(f\) est convexe ou concave sur \(I\). Pour une fonction deux fois dérivable, on peut étudier le signe de \(f''\).
3. Calculer la tangente
Calculer \(f(a)\) et \(f'(a)\), puis simplifier \(T_a(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\).
4. Comparer et conclure
Utiliser la position de la courbe par rapport à la tangente. Donner le domaine de validité et, si demandé, justifier les cas d’égalité.
Comment choisir \(a\) ? Chercher un point où \(f(a)\) et \(f'(a)\) sont simples. L’expression affine à comparer avec \(f(x)\) donne souvent une indication.
Par exemple, pour comparer \(e^x\) à \(1+x\), la tangente en \(a=0\) est un bon choix.
4. Une rédaction type
« La fonction \(f\) est dérivable et convexe sur l’intervalle \(I\).
La tangente à sa courbe au point d’abscisse \(a\) a pour équation :
Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes. Ainsi, pour tout \(x\in I\) :
On obtient donc l’inégalité demandée sur \(I\). »
Si la fonction est concave, sa courbe est en dessous de ses tangentes : on utilise alors le sens \(\leq\).
5. Un exemple entièrement corrigé
Énoncé. Montrer que, pour tout réel \(x\) :
Préciser le cas d’égalité.
Étape 1 — Choisir la fonction
On considère \(f(x)=e^x\) sur \(\mathbb R\), et on cherche sa tangente au point d’abscisse \(0\).
Étape 2 — Justifier la convexité
La fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\), avec :
Elle est donc convexe sur \(\mathbb R\).
Étape 3 — Calculer la tangente en \(0\)
On a \(f(0)=1\) et \(f'(0)=1\). Ainsi :
Étape 4 — Utiliser la position de la courbe
Comme \(f\) est convexe sur \(\mathbb R\), sa courbe est au-dessus de cette tangente. Par conséquent :
Le cas d’égalité
Pour le justifier, on pose \(d(x)=e^x-1-x\). Sa dérivée est \(d'(x)=e^x-1\).
- Pour \(x<0\), on a \(e^x<1\), donc \(d'(x)<0\).
- Pour \(x>0\), on a \(e^x>1\), donc \(d'(x)>0\).
La fonction \(d\) est strictement décroissante jusqu’à \(0\), puis strictement croissante. Elle admet donc un unique minimum en \(0\), égal à \(d(0)=0\).
L’égalité \(e^x=1+x\) a lieu si et seulement si \(x=0\).
Une conséquence immédiate : en remplaçant \(x\) par \(-t\), on obtient, pour tout réel \(t\) :
Il y a égalité si et seulement si \(t=0\).
6. Les pièges fréquents
- Inverser le sens de l’inégalité. Convexe : au-dessus des tangentes. Concave : en dessous.
- Utiliser \(f''(a)\) dans l’équation de la tangente. Son coefficient directeur est \(f'(a)\).
- Oublier de justifier la convexité sur tout l’intervalle. Le signe de \(f''\) en un seul point ne suffit pas.
- Oublier le domaine. Le logarithme impose \(x>0\), et la racine carrée impose \(x\geq0\).
- Annoncer un cas d’égalité sans preuve. La convexité seule ne garantit pas que l’égalité ait lieu uniquement au point de contact : pour une fonction affine, la courbe coïncide avec sa tangente.
- Confondre une corde et une tangente. Pour une fonction convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes mais en dessous de ses cordes.
7. Exercices d’application
Chaque question possède un corrigé détaillé à déplier. Précise toujours le domaine et le sens de comparaison.
Exercice 1 — Une minoration de \(x^2\)
On considère la fonction \(f(x)=x^2\), définie sur \(\mathbb R\).
1. Justifier que \(f\) est convexe sur \(\mathbb R\).
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction \(f\) est polynomiale, donc deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). On obtient :
La fonction \(f\) est donc convexe sur \(\mathbb R\).
2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(1\).
Afficher le corrigé de la question 2
On a \(f(1)=1\) et \(f'(1)=2\). La tangente a pour équation :
3. En déduire une preuve de \(x^2\geq2x-1\) pour tout réel \(x\), et préciser le cas d’égalité.
Afficher le corrigé de la question 3
La fonction \(f(x)=x^2\) est convexe sur \(\mathbb R\). Sa courbe est donc au-dessus de la tangente d’équation \(y=2x-1\).
Pour le cas d’égalité, on calcule la différence :
Cette différence est nulle si et seulement si \(x=1\). Il y a donc égalité uniquement pour \(x=1\).
Exercice 2 — Une majoration de \(\sqrt{x}\)
On considère \(s(x)=\sqrt{x}\). Pour l’étude par dérivation, on travaille d’abord sur \(]0\,;+\infty[\).
1. Calculer \(s'\) et \(s''\), puis justifier que \(s\) est concave sur \(]0\,;+\infty[\).
Afficher le corrigé de la question 1
Pour \(x>0\), on écrit \(s(x)=x^{1/2}\). On dérive :
Comme \(x^{3/2}>0\), on a \(s''(x)<0\) sur \(]0\,;+\infty[\).
La fonction \(s\) est donc concave sur cet intervalle.
2. Calculer la tangente en \(1\), puis démontrer que \(\sqrt{x}\leq\dfrac{x+1}{2}\) pour \(x>0\).
Afficher le corrigé de la question 2
On a \(s(1)=1\) et \(s'(1)=\dfrac12\). La tangente a pour équation :
La fonction \(s\) est concave sur \(]0\,;+\infty[\). Sa courbe est donc en dessous de cette tangente :
3. L’inégalité reste-t-elle vraie pour \(x=0\) ? Déterminer tous les cas d’égalité pour \(x\geq0\).
Afficher le corrigé de la question 3
Pour \(x=0\), l’inégalité devient \(0\leq\dfrac12\), ce qui est vrai. Elle est donc valable sur tout \([0\,;+\infty[\).
Pour tout \(x\geq0\), on calcule :
Cette différence est nulle si et seulement si \(\sqrt{x}=1\), c’est-à-dire \(x=1\).
L’inégalité est vraie pour tout \(x\geq0\), avec égalité uniquement pour \(x=1\).
On a vérifié le cas \(x=0\) directement : on n’a pas utilisé de dérivée de la racine carrée en ce point.
Exercice 3 — Une majoration du logarithme
On considère \(\ell(x)=\ln x\) sur \(]0\,;+\infty[\). On rappelle que \((\ln x)'=\dfrac1x\) pour \(x>0\).
1. Justifier que \(\ell\) est concave sur \(]0\,;+\infty[\).
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction \(\ell\) est deux fois dérivable sur \(]0\,;+\infty[\). On obtient :
La fonction \(\ell\) est donc concave sur \(]0\,;+\infty[\).
2. Utiliser la tangente en \(1\) pour démontrer que \(\ln x\leq x-1\) pour tout \(x>0\).
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On a \(\ell(1)=0\) et \(\ell'(1)=1\). La tangente en \(1\) a donc pour équation :
Comme \(\ell\) est concave sur \(]0\,;+\infty[\), sa courbe est en dessous de cette tangente :
3. En déduire que \(\ln(1+t)\leq t\) pour \(t>-1\), puis préciser le cas d’égalité.
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Si \(t>-1\), alors \(x=1+t>0\). L’inégalité \(\ln x\leq x-1\) donne :
Pour déterminer le cas d’égalité, on pose \(q(x)=x-1-\ln x\) pour \(x>0\). Alors :
Le dénominateur est positif. La fonction \(q\) est donc strictement décroissante sur \(]0\,;1]\), puis strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\).
Elle admet un unique minimum en \(1\), égal à \(q(1)=0\). Ainsi, \(\ln x=x-1\) si et seulement si \(x=1\).
Pour \(x=1+t\), il y a donc égalité si et seulement si \(t=0\).
- Choisir une fonction et préciser son intervalle.
- Justifier sa convexité ou sa concavité.
- Choisir le point de contact et calculer la tangente.
- Comparer : convexe → au-dessus ; concave → en dessous.
- Donner le domaine de validité et justifier les cas d’égalité.