Objectif : utiliser les variations et les zéros d’une fonction pour déterminer son signe, puis donner l’ensemble des solutions d’une inéquation.
Cette fiche prolonge la méthode 1 sur l’unique solution et la méthode 7 sur le nombre de solutions. La racine peut rester notée \(\alpha\) lorsque l’on ne connaît pas sa valeur exacte.
1. Comparer à la valeur zéro grâce à la monotonie
On suppose que \(f\) est strictement monotone sur un intervalle \(I\), et qu’elle possède un zéro \(\alpha\in I\), avec \(f(\alpha)=0\).
Si \(f\) est strictement croissante, pour les abscisses qui appartiennent à \(I\) :
Si \(f\) est strictement décroissante, les deux signes s’inversent.
| Monotonie sur \(I\) | \(x<\alpha\) | \(x=\alpha\) | \(x>\alpha\) |
|---|---|---|---|
| Strictement croissante | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| Strictement décroissante | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
Deux étapes distinctes : on justifie d’abord l’existence du zéro et, si nécessaire, son unicité. On utilise ensuite les variations pour établir le signe de la fonction.
La continuité est utile pour obtenir une solution par le TVI. Une fois le zéro connu, la comparaison ci-dessus vient directement de la stricte monotonie.
2. Une fonction continue garde son signe entre ses zéros
Sur un intervalle où une fonction est continue et ne s’annule pas, elle garde un signe strict constant.
En effet, si elle prenait une valeur négative et une valeur positive, le TVI imposerait un zéro entre les deux points.
Si tous ses zéros sont connus, on découpe donc le domaine en intervalles, puis on peut tester une valeur dans chacun pour déterminer le signe.
Un zéro unique ne garantit pas un changement de signe. Pour \(p(x)=(x-1)^2\), le seul zéro est \(1\), mais \(p(x)>0\) des deux côtés.
| Expression | \(x<1\) | \(x=1\) | \(x>1\) |
|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
Il faut donc utiliser les variations ou déterminer le signe sur chaque intervalle. Une fonction continue peut toucher l’axe sans le traverser.
3. La démarche en quatre étapes
1. Identifier la fonction à étudier
Regrouper les termes de l’inéquation pour comparer une fonction à \(0\), et vérifier son domaine.
2. Repérer tous les zéros utiles
Déterminer ou justifier les zéros, éventuellement en les notant \(\alpha\), \(\beta\)…
3. Construire le tableau de signes
Utiliser la stricte monotonie, ou la continuité et une valeur test par intervalle. Ajouter les valeurs interdites si nécessaire.
4. Lire l’ensemble des solutions
Choisir les intervalles du signe demandé. Inclure un zéro pour \(\leq\) ou \(\geq\), et exclure toute valeur interdite.
4. Un exemple entièrement corrigé
Énoncé. Résoudre sur \(\mathbb R\) l’inéquation :
Étape 1 — Se ramener à une comparaison avec zéro
On pose \(f(x)=x^3+2x-4\). L’inéquation équivaut à \(f(x)\leq0\). La fonction est polynomiale, donc continue et dérivable sur \(\mathbb R\).
Étape 2 — Justifier un unique zéro
La fonction est strictement croissante sur \(\mathbb R\). De plus, \(f(1)=-1<0\) et \(f(2)=8>0\).
Le TVI sur \([1\,;2]\) donne un zéro \(\alpha\in]1\,;2[\). La stricte croissance sur \(\mathbb R\) garantit qu’il est unique sur tout le domaine.
Étape 3 — Déduire le signe
Comme \(f(\alpha)=0\) et \(f\) est strictement croissante, elle est négative avant \(\alpha\) et positive après :
| Expression | \(x<\alpha\) | \(x=\alpha\) | \(x>\alpha\) |
|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Étape 4 — Lire la solution
L’inégalité est large, donc le zéro est inclus. On obtient :
Pour l’inéquation stricte \(x^3+2x<4\), on obtiendrait \(S=]-\infty\,;\alpha[\).
Le zéro sépare les deux signes
Portion représentée : \([0\,;1{,}5]\), sans graduations. Le signe sur tout \(\mathbb R\) est justifié par la stricte croissance.
Une racine non calculable exactement reste utilisable. L’ensemble \(]-\infty\,;\alpha]\) est une réponse exacte lorsque \(\alpha\) a été définie comme l’unique zéro de \(f\).
Si une valeur approchée est demandée, on peut ensuite utiliser la méthode 4 sur la dichotomie. On conserve \(\alpha\) pour écrire l’ensemble exact des solutions.
5. Une rédaction type
« La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(I\), et \(\alpha\in I\) vérifie \(f(\alpha)=0\).
Pour \(x\in I\), si \(x<\alpha\), alors \(f(x)<f(\alpha)=0\). Si \(x>\alpha\), alors \(f(x)>f(\alpha)=0\).
On en déduit le tableau de signes, puis :
Le zéro est inclus car l’inégalité est large. »
Pour une fonction strictement décroissante, les signes s’inversent et \(f(x)\leq0\) correspond à \(x\geq\alpha\) dans l’intervalle étudié.
6. Les pièges fréquents
- Inverser les signes d’une fonction décroissante. Elle est positive avant son zéro et négative après.
- Confondre \(f\) et \(f'\). Les zéros de la fonction donnent les frontières du signe de \(f\) ; ceux de la dérivée servent à étudier ses variations.
- Supposer un changement de signe à chaque zéro. Une racine peut correspondre à un simple contact avec l’axe.
- Tester un point sans avoir repéré tous les zéros. Pour conclure sur tout un intervalle par continuité, il faut savoir que la fonction ne s’y annule pas.
- Étendre la conclusion hors de l’intervalle étudié. La monotonie doit être justifiée sur toute la zone où l’on annonce le signe.
- Inclure une valeur interdite. Un dénominateur nul ne donne jamais une solution de l’inéquation initiale.
- Multiplier par une expression de signe inconnu. Le sens d’une inégalité s’inverse lorsque l’on multiplie par un nombre négatif.
- Remplacer un zéro exact par un arrondi dans la réponse finale. Un arrondi peut déplacer la frontière de l’ensemble des solutions.
7. Exercices d’application
Chaque question possède un corrigé détaillé à déplier. Les notations sont propres à chaque exercice ; dans l’exercice 3, on reprend explicitement la fonction de l’exemple corrigé.
Exercice 1 — Une fonction strictement décroissante
On considère \(g(x)=e^{-x}-x\) sur \(\mathbb R\).
1. Montrer que \(g\) admet un unique zéro \(\beta\) sur \(\mathbb R\), et que \(0<\beta<1\).
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction \(g\) est continue et dérivable sur \(\mathbb R\). On a \(g'(x)=-e^{-x}-1<0\), donc elle est strictement décroissante sur tout \(\mathbb R\).
De plus, \(g(0)=1>0\) et \(g(1)=e^{-1}-1<0\). Le TVI sur \([0\,;1]\) garantit un zéro \(\beta\in]0\,;1[\). La stricte décroissance garantit son unicité sur \(\mathbb R\).
2. Donner le tableau de signes de \(g\) sur \(\mathbb R\).
Afficher le corrigé de la question 2
Comme \(g\) est strictement décroissante et \(g(\beta)=0\), on a \(g(x)>0\) pour \(x<\beta\), et \(g(x)<0\) pour \(x>\beta\).
| Expression | \(x<\beta\) | \(x=\beta\) | \(x>\beta\) |
|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
3. Résoudre sur \(\mathbb R\) les inéquations \(e^{-x}\leq x\) et \(e^{-x}>x\).
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La première inéquation équivaut à \(g(x)\leq0\). D’après le tableau :
La seconde équivaut à \(g(x)>0\). Le zéro est exclu car l’inégalité est stricte :
Exercice 2 — Plusieurs zéros déjà connus
On considère \(u(x)=x^3-3x+1\). On admet qu’elle possède exactement trois zéros \(a\), \(b\), \(c\), avec :
1. Expliquer pourquoi \(u\) garde un signe strict constant sur chacun des intervalles obtenus en retirant \(a\), \(b\) et \(c\) de \(\mathbb R\).
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La fonction \(u\) est polynomiale, donc continue sur \(\mathbb R\). Par hypothèse, ses seuls zéros sont \(a\), \(b\) et \(c\).
Sur chacun des intervalles \(]-\infty\,;a[\), \(]a\,;b[\), \(]b\,;c[\) et \(]c\,;+\infty[\), elle est continue et ne s’annule pas. Elle y garde donc un signe strict constant.
Sinon, deux valeurs de signes opposés imposeraient un nouveau zéro par le TVI, ce qui contredirait l’hypothèse.
2. Utiliser les valeurs \(u(-2)\), \(u(0)\), \(u(1)\) et \(u(2)\) pour construire le tableau de signes.
Afficher le corrigé de la question 2
Les encadrements des zéros placent un point test dans chacun des quatre intervalles. On calcule :
| Expression | \(x<a\) | \(x=a\) | \(a<x<b\) | \(x=b\) | \(b<x<c\) | \(x=c\) | \(x>c\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Les signes de ces quatre valeurs donnent ceux des quatre intervalles entiers grâce à la question 1.
3. Résoudre \(u(x)\geq0\), puis \(x^3+1<3x\).
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Pour \(u(x)\geq0\), on choisit les intervalles positifs et on inclut les trois zéros :
La seconde inéquation équivaut à \(x^3-3x+1<0\), soit \(u(x)<0\). On choisit les intervalles négatifs en excluant les zéros :
Exercice 3 — Un quotient et une valeur interdite
On reprend \(f(x)=x^3+2x-4\) et son unique zéro \(\alpha\in]1\,;2[\). On étudie :
1. Donner le domaine de \(q\), puis les valeurs qui doivent figurer dans son tableau de signes.
Afficher le corrigé de la question 1
Le dénominateur est nul en \(2\), donc \(q\) est définie sur \(\mathbb R\setminus\{2\}\).
Le numérateur s’annule seulement en \(\alpha\), qui vérifie \(1<\alpha<2\). Cette valeur appartient au domaine et donne bien \(q(\alpha)=0\).
On doit donc placer \(\alpha\), puis \(2\), dans cet ordre. La première valeur est un zéro ; la seconde est interdite.
2. Construire le tableau de signes du numérateur, du dénominateur et du quotient.
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Le signe de \(f\) a été établi dans l’exemple : négatif avant \(\alpha\), positif après. Le dénominateur \(x-2\) est négatif avant \(2\), nul en \(2\) et positif après.
| Expression | \(x<\alpha\) | \(x=\alpha\) | \(\alpha<x<2\) | \(x=2\) | \(x>2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x-2\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(q(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | non défini | \(+\) |
En \(2\), le numérateur vaut \(f(2)=8\), mais le quotient n’est pas défini.
3. Résoudre \(\dfrac{x^3+2x-4}{x-2}\leq0\) sur son domaine.
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Le quotient est négatif sur \(]\alpha\,;2[\) et nul en \(\alpha\). L’inégalité est large, donc \(\alpha\) est incluse. La valeur \(2\) est toujours exclue.
Sur \(]-\infty\,;2[\), multiplier par \(x-2<0\) inverserait le sens et donnerait \(f(x)\geq0\), d’où le même intervalle \([\alpha\,;2[\).
Sur \(]2\,;+\infty[\), les deux expressions sont positives, donc aucune solution supplémentaire n’est possible.
- Se ramener à une comparaison avec \(0\) et vérifier le domaine.
- Repérer tous les zéros et les valeurs interdites utiles.
- Utiliser la monotonie ou la continuité pour établir le signe.
- Construire le tableau, puis choisir les intervalles du signe demandé.
- Inclure les zéros seulement pour une inégalité large, et exclure les valeurs interdites.