Objectif : prouver qu’une équation possède zéro, une ou plusieurs solutions, même si l’on ne sait pas toutes les calculer exactement.
On réutilise la méthode 1 sur l’existence et l’unicité sur chaque intervalle de monotonie, puis on rassemble les résultats. On compte les solutions réelles distinctes.
1. Une solution au plus sur chaque intervalle de stricte monotonie
Pour résoudre \(f(x)=k\), on étudie les variations de \(f\) sur son domaine. Sur un intervalle où \(f\) est strictement monotone, elle ne peut prendre la valeur \(k\) qu’une seule fois.
La continuité permet ensuite de prouver l’existence lorsque le niveau \(k\) se trouve entre deux valeurs de la fonction.
Concrètement, si \(u<v\) et \(f(u)<k<f(v)\), ou \(f(v)<k<f(u)\), le TVI garantit une solution dans \(]u\,;v[\). La stricte monotonie garantit son unicité sur l’intervalle étudié.
Lecture graphique : le nombre de solutions de \(f(x)=k\) est le nombre de points d’intersection de la courbe avec la droite horizontale \(y=k\).
Pour appliquer le TVI sous la forme \(F(x)=0\) : on pose \(F(x)=f(x)-k\) et on compare ses signes aux bornes.
Avec une borne infinie : une limite peut montrer que le niveau recherché sera dépassé. On peut alors choisir une borne finie suffisamment éloignée et appliquer le TVI sur un intervalle fermé et borné.
Une valeur qui n’est qu’une limite n’est pas nécessairement atteinte. Le symbole \(+\infty\) ne désigne jamais une solution réelle.
2. La démarche en quatre étapes
1. Vérifier le domaine
Repérer les valeurs interdites et justifier la continuité sur chaque intervalle utilisé.
2. Établir les variations
Étudier \(f'\), puis calculer les valeurs aux points critiques et les limites utiles.
3. Étudier chaque intervalle
Comparer le niveau \(k\) aux valeurs prises par \(f\). Prouver l’existence et l’unicité, ou expliquer pourquoi aucune solution n’est possible.
4. Compter les solutions distinctes
Rassembler les résultats et vérifier qu’une solution à une borne commune n’est comptée qu’une fois.
3. Un exemple entièrement corrigé
Énoncé. Déterminer le nombre de solutions réelles de :
Donner un intervalle contenant chacune d’elles.
Étape 1 — Choisir la fonction et son domaine
On pose \(f(x)=x^3-3x\). Cette fonction polynomiale est définie et continue sur \(\mathbb R\). On recherche les antécédents du niveau \(1\).
Étape 2 — Étudier les variations
La dérivée est positive à l’extérieur de \([-1\,;1]\), négative à l’intérieur et nulle en \(-1\) et en \(1\).
On calcule \(f(-1)=2\) et \(f(1)=-2\). De plus, \(f(x)\to-\infty\) quand \(x\to-\infty\), et \(f(x)\to+\infty\) quand \(x\to+\infty\).
| \(x\) | \(-\infty\) | Intervalle entre ces deux bornes | \(-1\) | Intervalle entre ces deux bornes | \(1\) | Intervalle entre ces deux bornes | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(2\) | ↘ | \(-2\) | ↗ | \(+\infty\) |
Les valeurs placées aux bornes infinies du tableau sont des limites.
Étape 3 — Appliquer le TVI sur chaque intervalle
Sur \(]-\infty\,;-1]\) : \(f\) est strictement croissante. On a \(f(-2)=-2<1<2=f(-1)\). Le TVI sur \([-2\,;-1]\) donne une solution \(\alpha\in]-2\,;-1[\), et la stricte croissance garantit qu’il n’y en a aucune autre sur \(]-\infty\,;-1]\).
Sur \([-1\,;1]\) : \(f\) est strictement décroissante. On a \(f(0)=0<1<2=f(-1)\). Le TVI sur \([-1\,;0]\) donne une solution \(\beta\in]-1\,;0[\), unique sur \([-1\,;1]\).
Sur \([1\,;+\infty[\) : \(f\) est strictement croissante. On a \(f(1)=-2<1<2=f(2)\). Le TVI sur \([1\,;2]\) donne une solution \(\gamma\in]1\,;2[\), unique sur \([1\,;+\infty[\).
Étape 4 — Compter et conclure
Ces trois intervalles de monotonie couvrent \(\mathbb R\). Les bornes communes \(-1\) et \(1\) ne sont pas solutions, puisque leurs images sont \(2\) et \(-2\).
L’équation possède donc exactement trois solutions réelles distinctes :
Trois intersections avec le niveau 1
Trait vert : \(f(x)=x^3-3x\). Pointillés violets : \(y=1\). Portion représentée : \([-2\,;2]\), sans graduations.
4. Et si l’on change le niveau ?
On conserve la même fonction \(f(x)=x^3-3x\) et on étudie maintenant \(f(x)=m\), avec \(m\in\mathbb R\).
Les seuils utiles sont les valeurs \(2\) et \(-2\) aux deux points critiques. Le tableau de variations permet de distinguer cinq cas :
| Niveau choisi | Nombre de solutions réelles distinctes |
|---|---|
| \(m<-2\) | 1 |
| \(m=-2\) | 2 |
| \(-2<m<2\) | 3 |
| \(m=2\) | 2 |
| \(m>2\) | 1 |
Pour \(-2<m<2\), il existe une solution dans l’intérieur de chacun des trois intervalles de monotonie. Au-dessus de \(2\), il n’y a qu’une solution sur la dernière branche ; en dessous de \(-2\), une seule sur la première.
Au niveau d’un extremum, ne pas compter deux fois le même point. Pour \(m=2\), le point d’abscisse \(-1\) appartient à deux intervalles adjacents, mais donne une seule solution. La seconde solution est \(2\).
Il y a donc deux solutions distinctes, \(-1\) et \(2\). Le facteur au carré ne crée pas deux nombres différents.
De même, pour \(m=-2\), on obtient \((x-1)^2(x+2)=0\) : les solutions distinctes sont \(1\) et \(-2\).
5. Une rédaction type pour une branche
« La fonction \(f\) est continue et strictement monotone sur l’intervalle \(J\). On choisit \(u<v\) tels que \([u\,;v]\subset J\), et on vérifie que \(k\) est strictement compris entre \(f(u)\) et \(f(v)\).
Le théorème des valeurs intermédiaires garantit une solution de \(f(x)=k\) dans \(]u\,;v[\). La stricte monotonie garantit qu’elle est unique sur \(J\). »
On répète le raisonnement sur les autres intervalles, puis on explique pourquoi tous les points du domaine ont été étudiés. Pour une borne qui vérifie déjà \(f(a)=k\), on relève directement la solution et on la compte une seule fois.
6. Les pièges fréquents
- Compter seulement les solutions visibles sur un dessin. Une fenêtre graphique peut masquer une intersection ; le tableau et les démonstrations donnent le résultat.
- Appliquer le TVI sur un intervalle contenant une valeur interdite. La continuité doit être vérifiée sur tout l’intervalle utilisé.
- Déduire l’unicité de la seule continuité. L’unicité sur une branche vient de sa stricte monotonie.
- Oublier une partie du domaine. Les intervalles étudiés doivent couvrir tout le domaine demandé.
- Compter deux fois une borne commune. Une même abscisse donne une seule solution distincte.
- Confondre une limite et une valeur atteinte. Une fonction peut tendre vers \(0\) sans jamais s’annuler.
- Prendre \(f'(x)=0\) pour l’équation à résoudre. Les zéros de \(f'\) servent à organiser les variations ; ils ne sont pas automatiquement solutions de \(f(x)=k\).
7. Exercices d’application
Chaque question possède un corrigé détaillé à déplier. Précise le domaine, les intervalles étudiés et le nombre de solutions distinctes.
Exercice 1 — Trois intervalles de monotonie
On considère \(g(x)=x^3-3x+1\) sur \(\mathbb R\).
1. Établir le tableau de variations de \(g\), avec ses limites et ses valeurs aux points critiques.
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction \(g\) est polynomiale, donc continue et dérivable sur \(\mathbb R\). Sa dérivée est \(g'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\).
Elle est positive pour \(x<-1\) et \(x>1\), négative pour \(-1<x<1\), et nulle aux deux bornes critiques. On a \(g(-1)=3\), \(g(1)=-1\), et les limites sont \(-\infty\) à gauche et \(+\infty\) à droite.
| \(x\) | \(-\infty\) | Intervalle entre ces deux bornes | \(-1\) | Intervalle entre ces deux bornes | \(1\) | Intervalle entre ces deux bornes | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(3\) | ↘ | \(-1\) | ↗ | \(+\infty\) |
2. Déterminer le nombre de solutions de \(g(x)=0\) et donner un intervalle contenant chacune.
Afficher le corrigé de la question 2
Sur chacune des trois branches, \(g\) est continue et strictement monotone. On utilise les valeurs suivantes :
- \(g(-2)=-1<0<3=g(-1)\) : une solution dans \(]-2\,;-1[\), unique sur \(]-\infty\,;-1]\).
- \(g(1)=-1<0<1=g(0)\) : une solution dans \(]0\,;1[\), unique sur \([-1\,;1]\).
- \(g(1)=-1<0<3=g(2)\) : une solution dans \(]1\,;2[\), unique sur \([1\,;+\infty[\).
Le TVI donne l’existence dans les intervalles indiqués, et la stricte monotonie l’unicité sur chaque branche.
L’équation admet exactement trois solutions réelles distinctes. Les points critiques ne sont pas solutions de cette équation.
3. Selon la valeur de \(k\in\mathbb R\), combien de solutions distinctes possède \(g(x)=k\) ?
Afficher le corrigé de la question 3
Les seuils sont \(-1\) et \(3\), les deux valeurs aux points critiques :
| Niveau choisi | Nombre de solutions réelles distinctes |
|---|---|
| \(k<-1\) | 1 |
| \(k=-1\) | 2 |
| \(-1<k<3\) | 3 |
| \(k=3\) | 2 |
| \(k>3\) | 1 |
Entre les deux seuils, une solution existe sur chaque branche. En dehors, une seule branche rencontre le niveau.
Au niveau \(3\), les solutions sont \(-1\) et \(2\), car \(g(x)-3=(x+1)^2(x-2)\). Au niveau \(-1\), les solutions sont \(1\) et \(-2\), car \(g(x)+1=(x-1)^2(x+2)\).
La borne commune ne se compte qu’une seule fois.
Exercice 2 — Une limite qui n’est pas atteinte
On considère \(h(x)=xe^{-x}\) sur \([0\,;+\infty[\).
1. Étudier les variations de \(h\), calculer \(h(0)\), \(h(1)\) et sa limite en \(+\infty\).
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction \(h\) est continue et dérivable sur \([0\,;+\infty[\), avec \(h'(x)=(1-x)e^{-x}\).
Comme \(e^{-x}>0\), elle est strictement croissante sur \([0\,;1]\), puis strictement décroissante sur \([1\,;+\infty[\).
On a \(h(0)=0\), \(h(1)=1/e\) et, par croissance comparée, \(h(x)=x/e^x\to0\) quand \(x\to+\infty\).
| \(x\) | \(0\) | Intervalle entre ces deux bornes | \(1\) | Intervalle entre ces deux bornes | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h'(x)\) | \(1\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | |
| \(h(x)\) | \(0\) | ↗ | \(1/e\) | ↘ | \(0\) |
Le dernier \(0\) du tableau est une limite. Pour tout \(x>0\), \(h(x)>0\).
2. Montrer que \(h(x)=\dfrac1{2e}\) admet exactement deux solutions sur \([0\,;+\infty[\).
Afficher le corrigé de la question 2
Sur \([0\,;1]\), \(h\) est continue et strictement croissante, et \(h(0)=0<1/(2e)<1/e=h(1)\). Il existe donc une unique solution dans \(]0\,;1[\).
Pour la seconde branche, on peut choisir une borne finie : comme \(e>2\), on a \(e^3>8\), donc \(h(4)=4/e^4<1/(2e)\).
Le TVI sur \([1\,;4]\) donne une solution dans \(]1\,;4[\), et la stricte décroissance de \(h\) garantit son unicité sur \([1\,;+\infty[\).
Il existe exactement deux solutions distinctes, l’une entre \(0\) et \(1\), l’autre entre \(1\) et \(4\).
3. Déterminer le nombre de solutions de \(h(x)=m\) selon le réel \(m\). Bien préciser le cas \(m=0\).
Afficher le corrigé de la question 3
Sur la première branche, \(h\) prend toutes les valeurs de \([0\,;1/e]\). Sur la seconde, elle prend toutes les valeurs de \(]0\,;1/e]\).
| Niveau choisi | Nombre de solutions réelles distinctes |
|---|---|
| \(m<0\) | 0 |
| \(m=0\) | 1 |
| \(0<m<1/e\) | 2 |
| \(m=1/e\) | 1 |
| \(m>1/e\) | 0 |
Pour \(m=0\), la seule solution est \(x=0\) : \(xe^{-x}=0\) et \(e^{-x}>0\) imposent \(x=0\).
Pour \(m=1/e\), la seule solution est \(x=1\). Ce maximum commun aux deux branches ne se compte pas deux fois.
La limite en \(+\infty\) ne fournit aucune solution supplémentaire pour \(m=0\).
Exercice 3 — Vérifier la continuité avant le TVI
On considère \(r(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}\).
1. Donner le domaine de \(r\), préciser les intervalles où elle est continue et calculer \(r(0)\) et \(r(2)\).
Afficher le corrigé de la question 1
Le dénominateur s’annule en \(1\), donc le domaine est \(\mathbb R\setminus\{1\}\).
Comme quotient de polynômes dont le dénominateur ne s’annule pas, \(r\) est continue sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).
2. Un élève affirme : « \(r(0)<0<r(2)\), donc le TVI donne une solution de \(r(x)=0\) dans \(]0\,;2[\). » Expliquer l’erreur et déterminer le nombre réel de solutions.
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L’intervalle \([0\,;2]\) contient \(1\), où \(r\) n’est pas définie. Elle n’est donc pas continue sur cet intervalle : le TVI ne s’y applique pas.
Sur son domaine, \(r(x)=0\) imposerait \(x^2+1=0\), ce qui est impossible pour un réel puisque \(x^2+1>0\).
L’équation \(r(x)=0\) n’a aucune solution réelle.
3. Résoudre \(r(x)=5\) sur son domaine et justifier le nombre de solutions obtenu.
Afficher le corrigé de la question 3
Pour \(x\neq1\), multiplier par le dénominateur non nul donne une équivalence :
Les candidats \(2\) et \(3\) appartiennent au domaine. On vérifie \(r(2)=5\) et \(r(3)=10/2=5\).
L’équation possède exactement deux solutions distinctes : \(2\) et \(3\).
- Vérifier le domaine et la continuité.
- Construire le tableau de variations avec les valeurs et les limites utiles.
- Comparer le niveau recherché aux valeurs prises sur chaque branche.
- Justifier existence et unicité, ou absence de solution.
- Compter les solutions distinctes, sans doubler les bornes communes.