Objectif : comparer une fonction à la droite passant par deux points de sa courbe, puis démontrer une inégalité sur l’intervalle situé entre leurs abscisses.
Cette fiche complète la méthode 3 sur les tangentes. Une fonction convexe a sa courbe au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses cordes.
1. Une corde relie deux points de la courbe
On choisit deux abscisses \(a<b\) dans un intervalle où la fonction \(f\) est définie. Les points correspondants sont \(A(a\,;f(a))\) et \(B(b\,;f(b))\).
Le segment \([AB]\) est une corde de la courbe. On note \(y=C_{a,b}(x)\) l’équation de la droite qui porte cette corde.
Les points du segment ont des abscisses comprises entre \(a\) et \(b\). La comparaison issue de la convexité sera donc énoncée pour \(x\in[a\,;b]\).
2. Calculer l’équation de la droite portant la corde
Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) vaut :
En utilisant le point \(A\), on obtient :
Vérification rapide : on doit retrouver \(C_{a,b}(a)=f(a)\) et \(C_{a,b}(b)=f(b)\).
Autre écriture utile : si \(x=(1-t)a+tb\), avec \(t\in[0\,;1]\), alors :
On peut retrouver \(t\) par \(t=\dfrac{x-a}{b-a}\). Au milieu de l’intervalle, \(t=1/2\) : l’ordonnée de la corde est la moyenne de \(f(a)\) et \(f(b)\).
3. Convexe ou concave : choisir le bon sens
| Hypothèse sur \([a\,;b]\) | Position de la courbe | Pour tout \(x\in[a\,;b]\) |
|---|---|---|
| \(f\) convexe | En dessous de la corde. | \(f(x)\leq C_{a,b}(x)\) |
| \(f\) concave | Au-dessus de la corde. | \(f(x)\geq C_{a,b}(x)\) |
Une fonction convexe
Une fonction concave
Trait vert : courbe. Pointillés violets : corde. Les dessins montrent les positions relatives entre les deux points choisis, sans graduations.
Le sens est opposé à celui des tangentes. Pour une fonction convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes et en dessous de ses cordes. Pour une fonction concave, les deux positions s’inversent.
4. La démarche et une rédaction type
1. Choisir les deux points
Repérer les abscisses \(a<b\), puis calculer \(f(a)\) et \(f(b)\).
2. Justifier la convexité
Montrer que \(f\) est convexe ou concave sur \([a\,;b]\), par exemple en étudiant \(f''\).
3. Calculer la corde
Déterminer le coefficient directeur, puis l’expression \(C_{a,b}(x)\).
4. Comparer et conclure
Utiliser le bon sens d’inégalité et préciser que \(x\) appartient à \([a\,;b]\).
« La fonction \(f\) est convexe sur \([a\,;b]\). La droite passant par \(A(a\,;f(a))\) et \(B(b\,;f(b))\) a pour équation :
La courbe d’une fonction convexe est en dessous de ses cordes. Ainsi, pour tout \(x\in[a\,;b]\) :
On obtient l’inégalité demandée sur cet intervalle. »
Pour une fonction concave, on utilise le sens \(\geq\).
5. Un exemple entièrement corrigé
Énoncé. Montrer que, pour tout \(x\in[-1\,;2]\), on a \(x^2\leq x+2\). Préciser les cas d’égalité.
Étape 1 — Choisir les deux points
On considère \(f(x)=x^2\), avec \(a=-1\) et \(b=2\). On a \(f(-1)=1\) et \(f(2)=4\). Les deux points sont donc \(A(-1\,;1)\) et \(B(2\,;4)\).
Étape 2 — Justifier la convexité
La fonction \(f\) est polynomiale, donc deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). On obtient \(f''(x)=2>0\). Elle est convexe sur \(\mathbb R\), donc sur \([-1\,;2]\).
Étape 3 — Calculer la corde
On vérifie que cette droite passe par les deux points : \(C_{-1,2}(-1)=1\) et \(C_{-1,2}(2)=4\).
Étape 4 — Utiliser la position de la courbe
La courbe de \(f\) est en dessous de la corde \([AB]\). Par conséquent :
Justifier les cas d’égalité
On peut vérifier la comparaison et les cas d’égalité par factorisation :
Sur \([-1\,;2]\), le facteur \(x+1\) est positif ou nul et le facteur \(x-2\) est négatif ou nul. Leur produit est donc négatif ou nul.
Il y a égalité exactement pour \(x=-1\) ou \(x=2\).
En dehors de l’intervalle : l’argument par la corde ne donne pas cette majoration. Ici, pour \(x=3\), on a \(x^2=9\) et \(x+2=5\) : l’inégalité \(9\leq5\) est fausse.
La fonction est pourtant convexe sur tout \(\mathbb R\). Cela ne permet pas de prolonger la comparaison avec cette corde au-delà de ses deux points.
6. Les pièges fréquents
- Confondre corde et tangente. La corde passe par deux points choisis ; la tangente utilise la dérivée au point de contact.
- Inverser le sens. Convexe : sous les cordes. Concave : au-dessus.
- Oublier l’intervalle. La comparaison est garantie entre les deux abscisses \(a\) et \(b\).
- Mal calculer le coefficient directeur. Le numérateur est \(f(b)-f(a)\) et le dénominateur est \(b-a\), dans le même ordre.
- Remplacer la moyenne pondérée par une moyenne simple. La moyenne \((f(a)+f(b))/2\) correspond seulement au milieu de \([a\,;b]\).
- Prendre \(t=x/b\) sans vérifier les bornes. La formule générale est \(t=(x-a)/(b-a)\).
- Oublier de justifier la convexité sur tout \([a\,;b]\). Un dessin ou le signe de \(f''\) en un seul point ne suffit pas.
- Annoncer que l’égalité a lieu seulement aux bornes sans preuve. Pour une fonction affine, la courbe et la corde coïncident sur tout l’intervalle.
7. Exercices d’application
Chaque question possède un corrigé détaillé à déplier. Précise toujours les deux points choisis et l’intervalle de validité.
Exercice 1 — Encadrer l’exponentielle
On considère \(f(x)=e^x\) sur \([0\,;1]\).
1. Justifier que \(f\) est convexe sur \([0\,;1]\).
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La fonction exponentielle est deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). On a \(f'(x)=e^x\) et \(f''(x)=e^x>0\).
Elle est donc convexe sur \(\mathbb R\), en particulier sur \([0\,;1]\).
2. Déterminer la droite passant par les points de la courbe d’abscisses \(0\) et \(1\), puis en déduire une majoration de \(e^x\).
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Les deux points sont \(A(0\,;1)\) et \(B(1\,;e)\). Le coefficient directeur vaut \((e-1)/(1-0)=e-1\).
Comme \(f\) est convexe, sa courbe est en dessous de la corde entre ces deux points :
3. À l’aide de la tangente en \(0\), donner un encadrement de \(e^x\) pour \(x\in[0\,;1]\). La majoration par la corde reste-t-elle vraie pour \(x=2\) ?
Afficher le corrigé de la question 3
La tangente en \(0\) a pour équation \(y=1+x\). La convexité donne \(e^x\geq1+x\) pour tout réel \(x\), comme dans la méthode 3.
En combinant cette minoration avec la majoration par la corde :
Pour \(x=2\), on compare les deux expressions de la majoration :
La majoration par cette corde est donc fausse en \(2\). Son intervalle de validité est essentiel.
Exercice 2 — Corde et tangente pour une racine carrée
On considère \(s(x)=\sqrt{x}\) sur \([1\,;4]\).
1. Justifier que \(s\) est concave sur \([1\,;4]\).
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction racine carrée est deux fois dérivable sur \(]0\,;+\infty[\). Pour \(x>0\) :
Elle est donc concave sur \(]0\,;+\infty[\), en particulier sur \([1\,;4]\).
2. Calculer la droite portant la corde entre les abscisses \(1\) et \(4\), puis en déduire une minoration de \(\sqrt{x}\).
Afficher le corrigé de la question 2
Les points sont \(A(1\,;1)\) et \(B(4\,;2)\). Le coefficient directeur vaut \((2-1)/(4-1)=1/3\).
La courbe d’une fonction concave est au-dessus de ses cordes. Ainsi :
Une vérification algébrique est possible : avec \(r=\sqrt{x}\in[1\,;2]\), on a \(\sqrt{x}-(x+2)/3=(r-1)(2-r)/3\geq0\).
3. Calculer la tangente en \(4\), puis encadrer \(\sqrt{x}\) pour \(x\in[1\,;4]\). En déduire un encadrement de \(\sqrt2\).
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On a \(s(4)=2\) et \(s'(4)=1/4\). La tangente a pour équation :
La fonction étant concave, sa courbe est en dessous de cette tangente. Avec la corde de la question 2 :
Comme \(2\in[1\,;4]\), on obtient :
Exercice 3 — Utiliser deux valeurs connues
Une fonction \(h\) est convexe sur \([2\,;5]\), avec \(h(2)=1\) et \(h(5)=7\). On ne connaît pas son expression.
1. Déterminer la droite passant par \(A(2\,;1)\) et \(B(5\,;7)\). Quelle borne en déduit-on pour \(h(3)\) ?
Afficher le corrigé de la question 1
Le coefficient directeur vaut \((7-1)/(5-2)=2\). La droite a donc pour équation :
La convexité donne \(h(x)\leq2x-3\) pour \(x\in[2\,;5]\). En particulier :
On retrouve ce résultat avec \(3=\frac23\times2+\frac13\times5\), d’où \(h(3)\leq\frac23h(2)+\frac13h(5)=3\).
2. Un élève affirme : « Puisque \(h\) est convexe, \(h(4)\geq5\). » Corriger son raisonnement et donner un exemple qui contredit son affirmation.
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Une courbe convexe est en dessous de la corde. La conclusion correcte est donc :
Par exemple, \(h(x)=x^2-5x+7\) est convexe car \(h''(x)=2>0\). Elle vérifie bien \(h(2)=1\) et \(h(5)=7\), mais \(h(4)=3<5\).
Les données ne permettent donc pas d’affirmer \(h(4)\geq5\).
3. On considère maintenant une fonction \(k\) concave sur \([2\,;5]\), avec \(k(2)=1\) et \(k(5)=7\). Que peut-on affirmer sur \(k(3)\) et \(k(4)\) ?
Afficher le corrigé de la question 3
La corde est portée par la même droite \(y=2x-3\), car les deux valeurs aux bornes sont identiques.
Mais la fonction \(k\) est concave : sa courbe est au-dessus de la corde. Ainsi, \(k(x)\geq2x-3\) sur \([2\,;5]\).
La même droite fournit donc une majoration pour une fonction convexe et une minoration pour une fonction concave.
- Choisir deux abscisses \(a<b\) et calculer les ordonnées correspondantes.
- Justifier la convexité ou la concavité sur \([a\,;b]\).
- Calculer la droite portant la corde, ou utiliser les coefficients d’une moyenne pondérée.
- Comparer : convexe → sous la corde ; concave → au-dessus.
- Donner l’intervalle de validité et justifier les cas d’égalité demandés.