Objectif : vérifier que les différentes expressions d’une fonction se raccordent au point où la formule change, et déterminer un paramètre lorsque c’est possible.
On compare trois informations : la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction au point. Cette vérification est utile avant d’utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
1. Trois valeurs à faire coïncider
Soit \(a\) un point intérieur d’un intervalle où \(f\) est définie. La fonction \(f\) est continue en \(a\) si sa limite en \(a\) existe et vaut \(f(a)\).
Lorsque l’expression change en \(a\), on calcule séparément :
Le critère à vérifier est :
Les deux limites doivent être finies. L’égalité des limites entre elles ne suffit pas si la valeur au point est différente.
Lire les inégalités de la définition : une formule donnée pour \(x<a\) ne fournit pas \(f(a)\). C’est la ligne contenant \(x=a\), \(x\leq a\) ou \(x\geq a\) qui permet de calculer cette valeur.
Pour une limite à gauche, on utilise la formule valable lorsque \(x<a\). Pour une limite à droite, celle valable lorsque \(x>a\).
À une extrémité du domaine : on utilise seulement la limite du côté où la fonction est définie. Par exemple, pour la racine carrée sur \([0\,;+\infty[\), la continuité en \(0\) se vérifie avec la limite à droite.
2. La démarche en quatre étapes
1. Repérer le raccordement
Identifier l’abscisse \(a\) où la formule change et la ligne qui donne \(f(a)\).
2. Calculer les deux limites
Utiliser l’expression de gauche pour \(L_-\), puis celle de droite pour \(L_+\). Simplifier si une forme indéterminée apparaît.
3. Comparer les trois valeurs
Vérifier \(L_-=L_+=f(a)\). Si un paramètre intervient, résoudre les égalités nécessaires.
4. Conclure sur le domaine
Justifier aussi la continuité sur les intervalles où chaque expression est utilisée.
3. Un exemple entièrement corrigé
Énoncé. Pour \(m\in\mathbb R\), on définit :
Déterminer la valeur de \(m\) pour laquelle \(f_m\) est continue sur \(\mathbb R\).
Étape 1 — Repérer le point et sa valeur
La formule change en \(1\). La deuxième ligne contient \(x=1\), donc :
Étape 2 — Calculer les limites de chaque côté
À gauche, on utilise \(x^2+1\). À droite, on utilise \(mx+1\) :
Ces calculs utilisent la continuité des expressions polynomiales correspondantes.
Étape 3 — Résoudre la condition
Les deux limites et la valeur au point coïncident si et seulement si :
Pour \(m=1\), les deux limites valent \(2\), et \(f_1(1)=2\). La fonction est donc continue en \(1\).
Étape 4 — Vérifier ailleurs et conclure
La fonction est continue sur \(]-\infty\,;1[\), où elle est égale au polynôme \(x^2+1\), et sur \(]1\,;+\infty[\), où elle est égale à la fonction affine \(mx+1\).
La fonction \(f_m\) est continue sur \(\mathbb R\) si et seulement si \(m=1\).
Un raccordement continu : m = 1
Un saut : m = 2
Vert : expression utilisée à gauche. Violet : expression utilisée à droite. Le point plein donne la valeur en \(1\) ; le point creux signale la limite à gauche lorsqu’elle diffère de cette valeur.
4. Peut-on réparer en changeant seulement la valeur au point ?
| Limites à gauche et à droite | Valeur au point | Conclusion en \(a\) |
|---|---|---|
| Même limite finie \(L\) | \(f(a)=L\) | La fonction est continue. |
| Même limite finie \(L\) | Valeur différente, ou valeur non définie. | Fixer la valeur au point à \(L\) permet d’obtenir une fonction continue en \(a\). |
| Limites différentes | Quel que soit le nombre choisi. | Aucun changement de la seule valeur au point ne peut assurer la continuité. |
| Au moins une limite non finie ou inexistante | Une valeur réelle. | Aucune valeur réelle au point ne peut assurer la continuité. |
Dans le cas \(m=2\), changer seulement \(f_2(1)\) ne suffit pas : les limites restent \(2\) et \(3\). Pour obtenir le raccordement de l’exemple, on change le paramètre de la branche de droite en choisissant \(m=1\).
5. Une rédaction type
« La fonction est continue sur les intervalles où chacune des expressions est utilisée. Il reste à étudier le point de raccordement \(a\).
Avec l’expression de gauche, on obtient \(\lim_{x\to a^-}f(x)=L_-\). Avec celle de droite, on obtient \(\lim_{x\to a^+}f(x)=L_+\). La définition donne par ailleurs \(f(a)=c\).
La continuité en \(a\) a lieu si et seulement si \(L_-=L_+=c\). On résout cette condition, puis on conclut sur l’ensemble du domaine étudié. »
Si les trois valeurs ne coïncident pas, on précise lesquelles sont différentes : les deux limites, ou la limite commune et la valeur au point.
6. Les pièges fréquents
- Utiliser la mauvaise ligne pour calculer \(f(a)\). Vérifier si la condition est stricte ou large.
- Oublier une des deux limites. Au point intérieur où la formule change, on doit vérifier les deux côtés.
- Comparer seulement les limites. Leur valeur commune doit aussi être égale à \(f(a)\).
- Remplacer directement dans une expression indéterminée. Une forme \(0/0\) exige une transformation avant de calculer la limite.
- Confondre la formule simplifiée avec la définition au point. Une simplification valable pour \(x\neq a\) ne fixe pas automatiquement \(f(a)\).
- Modifier un seul point pour effacer un saut. Des limites différentes restent incompatibles avec la continuité.
- Vérifier un raccordement et oublier les autres. Une fonction définie en trois morceaux peut avoir deux points à contrôler.
- Déduire la dérivabilité de la continuité. Une courbe peut se raccorder avec un point anguleux ; la dérivabilité demande une vérification supplémentaire.
7. Exercices d’application
Chaque question possède un corrigé détaillé à déplier. Indique clairement la formule utilisée pour chaque limite et pour la valeur au point.
Exercice 1 — Lire la bonne branche au point
Pour \(\lambda\in\mathbb R\), on définit :
1. Calculer \(g_\lambda(2)\) et la limite de \(g_\lambda\) à gauche de \(2\).
Afficher le corrigé de la question 1
La première ligne contient \(x=2\), puisque sa condition est \(x\leq2\). Ainsi :
À gauche de \(2\), on utilise aussi \(2x+\lambda\). Par continuité de cette expression affine :
2. Calculer la limite à droite de \(2\), puis déterminer \(\lambda\) pour assurer la continuité en \(2\).
Afficher le corrigé de la question 2
À droite, l’expression est \(x^2-1\), donc :
Les deux limites et la valeur au point sont égales si et seulement si \(4+\lambda=3\).
3. Pour la valeur trouvée, justifier que \(g_\lambda\) est continue sur tout \(\mathbb R\).
Afficher le corrigé de la question 3
Pour \(\lambda=-1\), la fonction est égale à \(2x-1\) pour \(x\leq2\), et à \(x^2-1\) pour \(x>2\).
Ces expressions sont continues sur les intervalles où elles s’appliquent. Au seul raccordement \(2\), on a :
La fonction \(g_{-1}\) est donc continue sur \(\mathbb R\).
Exercice 2 — Combler un trou correctement
Pour \(c\in\mathbb R\), on définit :
1. Simplifier l’expression pour \(x\neq2\), puis calculer les limites de \(h_c\) à gauche et à droite de \(2\).
Afficher le corrigé de la question 1
Pour \(x\neq2\), on factorise et on simplifie par le facteur non nul \(x-2\) :
On peut donc utiliser la continuité de \(x\mapsto x+2\) pour calculer les limites :
La simplification ne donne pas la valeur en \(2\), qui reste \(h_c(2)=c\).
2. Déterminer \(c\) pour que \(h_c\) soit continue en \(2\), puis donner une expression valable sur tout \(\mathbb R\) pour cette fonction.
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Les deux limites valent \(4\), tandis que \(h_c(2)=c\). Le critère de continuité impose donc \(\boxed{c=4}\).
Pour \(c=4\), la valeur au point coïncide avec celle de l’expression simplifiée. On a alors :
La fonction \(h_4\) est affine, donc continue sur tout \(\mathbb R\).
3. Pour \(c=1\), un élève affirme : « \(h_1(1)=3<4<5=h_1(3)\), donc le TVI donne une solution de \(h_1(x)=4\) dans \([1\,;3]\). » Vérifier son raisonnement et dire si l’équation possède une solution.
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Les valeurs aux extrémités sont correctes. Mais \(h_1\) n’est pas continue en \(2\), puisque sa limite vaut \(4\) et sa valeur au point vaut \(1\). Le TVI ne s’applique donc pas sur \([1\,;3]\).
Pour \(x\neq2\), l’équation \(h_1(x)=4\) équivaut à \(x+2=4\), dont le seul candidat est \(x=2\), exclu de cette branche.
En \(2\), on a \(h_1(2)=1\neq4\).
L’équation \(h_1(x)=4\) ne possède aucune solution réelle.
Exercice 3 — Deux raccordements à réussir
Pour \(a,b\in\mathbb R\), on définit :
1. Donner la condition sur \(a\) et \(b\) pour que \(F_{a,b}\) soit continue en \(0\).
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À gauche de \(0\), \(x^2\to0\). À droite, \(ax+b\to b\). La ligne du milieu donne aussi \(F_{a,b}(0)=b\).
Cette condition ne fixe pas encore \(a\).
2. Donner la condition pour la continuité en \(1\).
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À gauche de \(1\), l’expression \(ax+b\) tend vers \(a+b\). La valeur au point est \(F_{a,b}(1)=a+b\), car la condition du milieu inclut \(1\).
À droite, l’expression \(2x\) tend vers \(2\). Ainsi :
3. Déterminer \(a\) et \(b\) pour que la fonction soit continue sur \(\mathbb R\). Pour ces valeurs, est-elle dérivable en \(0\) ?
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On doit satisfaire simultanément les deux conditions :
On obtient l’unique choix \(\boxed{a=2,\ b=0}\). Les expressions sont polynomiales sur chaque morceau, et les deux raccordements sont continus : \(F_{2,0}\) est continue sur \(\mathbb R\).
Pour la dérivabilité en \(0\), on étudie le taux d’accroissement. On a \(F_{2,0}(0)=0\).
- Pour \(t<0\), \(F_{2,0}(t)=t^2\), donc \(\dfrac{F_{2,0}(t)-F_{2,0}(0)}{t}=t\to0\).
- Pour \(t>0\), \(F_{2,0}(t)=2t\), donc \(\dfrac{F_{2,0}(t)-F_{2,0}(0)}{t}=2\).
Les limites du taux d’accroissement sont différentes. La fonction n’est donc pas dérivable en \(0\).
La continuité est assurée, mais la courbe présente un point anguleux en \(0\).
- Repérer chaque point où la formule change.
- Calculer la valeur au point avec la ligne qui le contient.
- Calculer séparément les limites à gauche et à droite.
- Vérifier que les deux limites et la valeur au point coïncident.
- Résoudre les conditions sur les paramètres et conclure sur le domaine.