La fonction \(f\) est convexe sur \([-2;3]\).
Objectif : Analyser les variations de \(f\prime\) sans avoir besoin d’une formule explicite de \(f\). Essaie de répondre aux quatre questions avant de dévoiler le corrigé.
1Dérivée croissante
Sur \([-2;3]\), la fonction dérivée \(f\prime\) est strictement croissante. Que peut-on en conclure sur \(f\) ?
2Dérivée seconde négative
On a \(f\prime\prime(x)<0\) sur un intervalle \(I\). Comment varie \(f\prime\) ?
3Minimum de la dérivée
La dérivée \(f\prime\) est décroissante sur \(]-\infty;1]\), puis croissante sur \([1;+\infty[\). Que se passe-t-il pour \(f\) en \(x=1\) ?
4Décroissante mais convexe
Peut-on avoir à la fois une fonction décroissante et convexe sur un intervalle ?
Afficher le corrigé détaillé des 4 questions
La dérivée \(f\prime\) est strictement décroissante sur \(I\) et \(f\) est concave sur \(I\).
\(f\) passe d’une zone concave à une zone convexe. Si \(f\) est bien dérivable sur ces intervalles, sa courbe présente un point d’inflexion en \(x=1\).
Oui. Par exemple, \(f(x)=e^{-x}\) est décroissante (\(f\prime(x)=-e^{-x}<0\)) et convexe (\(f\prime\prime(x)=e^{-x}>0\)).
À retenir
Les variations de \(f\prime\) pilotent la convexité de \(f\). Elles ne doivent pas être confondues avec le signe de \(f\prime\), qui pilote les variations de \(f\).