Oui. \(f\prime\prime(x)=6x\) change de signe en \(0\). Le point \((0;0)\) est un point d’inflexion.
Objectif : Vérifier un véritable changement de signe de \(f\prime\prime\), et non sa simple annulation. Essaie de répondre aux quatre questions avant de dévoiler le corrigé.
1Le cube
La courbe de \(f(x)=x^3\) admet-elle un point d’inflexion d’abscisse \(0\) ?
2Faux ami
La courbe de \(g(x)=x^4\) admet-elle un point d’inflexion en \(0\), sachant que \(g\prime\prime(0)=0\) ?
3Deux changements
On suppose \(h\prime\prime(x)=x(x-2)\). Quelles sont les abscisses des points d’inflexion de \(h\) ?
4Tangente au point d’inflexion
Pour \(k(x)=x^3+2\), donner l’équation de la tangente au point d’abscisse \(0\).
Afficher le corrigé détaillé des 4 questions
Non. \(g\prime\prime(x)=12x^2\geq0\) ne change pas de signe : la convexité reste la même.
Le signe de \(x(x-2)\) est positif sur \(]-\infty;0[\), négatif sur \(]0;2[\), puis positif sur \(]2;+\infty[\). Il y a donc deux points d’inflexion, d’abscisses \(0\) et \(2\).
\(k(0)=2\) et \(k\prime(0)=0\). La tangente est donc \(y=2\) ; la courbe la traverse en ce point d’inflexion.
À retenir
Une annulation de \(f\prime\prime\) ne suffit pas pour conclure. Si \(f\prime\prime\) change de signe en \(a\), la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse \(a\).