\(f(1)=1\) et \(f\prime(1)=2\). Donc \(y=f\prime(1)(x-1)+f(1)=\boxed{2x-1}\).
Objectif : Retrouver une équation de tangente et utiliser la convexité pour obtenir une inégalité. Essaie de répondre aux quatre questions avant de dévoiler le corrigé.
1Équation de tangente
Déterminer l’équation de la tangente à \(f(x)=x^2\) au point d’abscisse \(1\).
2Inégalité immédiate
Déduire de la convexité de \(f(x)=x^2\) une inégalité vraie pour tout réel \(x\).
3Parabole concave
On considère \(g(x)=-x^2\). Quelle inégalité obtient-on avec la tangente à sa courbe en \(x=1\) ?
4Tangente à l’exponentielle
Quelle inégalité la convexité de \(e^x\) fournit-elle en utilisant la tangente en \(0\) ?
Afficher le corrigé détaillé des 4 questions
La courbe est au-dessus de la tangente en \(1\). Donc \(x^2\geq 2x-1\), ce qui équivaut à \((x-1)^2\geq0\).
La tangente en \(1\) est \(y=1-2x\). La fonction est concave, donc sa courbe se situe sous cette tangente : \(-x^2\leq1-2x\), pour tout réel \(x\).
La tangente est \(y=x+1\). Par convexité, \(e^x\geq 1+x\) pour tout \(x\in\mathbb R\).
À retenir
Une fonction convexe dérivable est au-dessus de chacune de ses tangentes ; une fonction concave dérivable est en dessous.