\(f\prime\prime(x)=12x^2\geq0\) pour tout \(x\). La fonction est convexe sur \(\mathbb R\).
Objectif : Calculer \(f\prime\prime\), étudier son signe puis conclure sans confondre convexité et croissance. Essaie de répondre aux quatre questions avant de dévoiler le corrigé.
1Une puissance paire
Étudier la convexité de \(f(x)=x^4\) sur \(\mathbb R\).
2Un polynôme du troisième degré
Pour \(g(x)=-x^3+3x\), déterminer les intervalles de convexité et de concavité.
3Exponentielle
La fonction \(h(x)=e^x\) est-elle convexe sur \(\mathbb R\) ?
4Tableau de signes
On sait que \(f\prime\prime(x)=(x-1)(x+2)\). Sur quels intervalles \(f\) est-elle convexe ?
Afficher le corrigé détaillé des 4 questions
\(g\prime\prime(x)=-6x\). Elle est positive pour \(x<0\) et négative pour \(x>0\). Ainsi \(g\) est convexe sur \(]-\infty;0]\) et concave sur \([0;+\infty[\).
Oui, car \(h\prime\prime(x)=e^x>0\) sur \(\mathbb R\).
Le produit est positif pour \(x\leq-2\) ou \(x\geq1\). La fonction est convexe sur \(]-\infty;-2]\) et sur \([1;+\infty[\), concave sur \([-2;1]\).
À retenir
Si \(f\) est deux fois dérivable, \(f\prime\prime\geq0\) implique la convexité, et \(f\prime\prime\leq0\) la concavité. Une fonction peut être convexe et décroissante.