\(f\) est continue, \(f(1)=-1\) et \(f(2)=5\). Le TVI donne une solution. Or \(f\prime(x)=3x^2-1>0\) sur \([1;2]\). La stricte croissance garantit l’unicité.
Objectif : Mettre en relation unicité d’une racine, dichotomie, convexité et tangentes. Essaie de répondre aux quatre questions avant de dévoiler le corrigé.
1Prouver l’unicité
Pour \(f(x)=x^3-x-1\) sur \([1;2]\), justifier que \(f(x)=0\) a exactement une solution.
2Localiser cette solution
Pour la même fonction \(f(x)=x^3-x-1\), donner l’intervalle obtenu après une dichotomie à partir de \([1;2]\).
3Convexité d’un polynôme
Pour \(g(x)=x^3-3x^2+2\), déterminer où \(g\) est concave et où elle est convexe.
4Tangente et comparaison
Donner la tangente à \(h(x)=x^2\) en \(x=2\), puis une inégalité vérifiée par tout réel \(x\).
Afficher le corrigé détaillé des 4 questions
Au milieu, \(f(1{,}5)=3{,}375-1{,}5-1=0{,}875>0\). Comme \(f(1)<0\), la racine appartient à \([1;1{,}5]\).
\(g\prime\prime(x)=6x-6\). La fonction est concave sur \(]-\infty;1]\), puis convexe sur \([1;+\infty[\), avec un point d’inflexion d’abscisse \(1\).
\(h(2)=4\) et \(h\prime(2)=4\), donc la tangente est \(y=4x-4\). Comme \(h\) est convexe, \(x^2\geq4x-4\) pour tout réel \(x\).
À retenir
Au bac, distingue soigneusement les trois étapes : établir les hypothèses, appliquer le théorème et formuler précisément la conclusion.