Objectif : étudier d’abord une fonction plus simple, souvent présente dans le numérateur d’une dérivée, puis utiliser son signe pour déterminer les variations de la fonction initiale.
La démarche combine le TVI et l’unicité avec la lecture d’un tableau de signes. On peut noter un zéro \(\alpha\) sans connaître sa valeur exacte.
1. Isoler la partie dont le signe est difficile
Après avoir dérivé \(f\), on peut obtenir une expression de la forme :
Si \(P(x)>0\) ou \(Q(x)>0\) sur l’intervalle étudié, \(f'\) a le même signe que \(g\). On étudie alors \(g\), appelée fonction auxiliaire.
On cherche ses variations et ses éventuels zéros, puis on en déduit son signe.
Le facteur doit être contrôlé sur le domaine. Un facteur négatif inverse les signes. Un facteur qui change de signe ou s’annule doit être intégré au tableau ; un dénominateur nul donne une valeur interdite.
2. La démarche en quatre étapes
1. Calculer la dérivée
Vérifier le domaine et faire apparaître la fonction auxiliaire dans \(f'\).
2. Étudier l’auxiliaire
Calculer \(g'\), déterminer les variations de \(g\), puis justifier ses zéros ou l’absence de zéro.
3. Transférer le signe
Établir le signe de \(g\) et contrôler les autres facteurs pour obtenir celui de \(f'\).
4. Conclure sur \(f\)
Donner les variations, les extrema et, si nécessaire, simplifier leurs valeurs avec l’équation vérifiée par le zéro de \(g\).
3. Un exemple entièrement corrigé
Énoncé. Étudier les variations de la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par :
Donner une expression exacte de son minimum.
Étape 1 — Calculer la dérivée et définir l’auxiliaire
La fonction est dérivable sur son domaine. Par la formule du quotient :
On pose \(g(x)=(x-1)e^x-1\) sur \(]0\,;+\infty[\). Comme \(x^2>0\), \(f'(x)\) a le même signe que \(g(x)\).
Étape 2 — Étudier \(g\)
La fonction \(g\) est continue et strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\). On a \(g(1)=-1<0\) et \(g(2)=e^2-1>0\).
Le TVI sur \([1\,;2]\) donne un zéro \(\alpha\in]1\,;2[\), et la stricte croissance garantit son unicité sur tout le domaine.
Étape 3 — Déduire les signes
La fonction \(g\) est négative avant \(\alpha\), nulle en \(\alpha\) et positive après. Le dénominateur de \(f'\) reste positif :
| Expression | \(0<x<\alpha\) | \(x=\alpha\) | \(x>\alpha\) |
|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(x^2\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f\prime(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Étape 4 — Donner les variations et simplifier le minimum
La fonction \(f\) est strictement décroissante sur \(]0\,;\alpha]\), puis strictement croissante sur \([\alpha\,;+\infty[\). Elle admet donc un unique minimum global en \(\alpha\).
L’équation \(g(\alpha)=0\) fournit :
Comme \(\alpha>0\), on peut diviser par \(\alpha\) :
Enfin, \(f(x)\to+\infty\) quand \(x\to0^+\), car le numérateur tend vers \(2\), et \(f(x)\to+\infty\) quand \(x\to+\infty\), par croissance comparée de \(e^x\) et \(x\).
| \(x\) | \(0\) | Premier intervalle | \(\alpha\) | Second intervalle | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | \(e^\alpha\) | ↗ | \(+\infty\) |
Les valeurs placées en \(0\) et en \(+\infty\) sont des limites ; \(0\) n’appartient pas au domaine.
Pour tout \(x>0\), on a \(f(x)\geq e^\alpha\), avec égalité uniquement pour \(x=\alpha\).
Le minimum de la fonction initiale
Courbe illustrative sur \([0{,}3\,;3]\), sans graduations. La démonstration établit le minimum sur tout \(]0\,;+\infty[\).
4. Une rédaction type pour le transfert du signe
« On a \(f'(x)=g(x)/Q(x)\), avec \(Q(x)>0\) sur le domaine étudié. La dérivée \(f'\) a donc le même signe que \(g\).
La fonction auxiliaire est strictement croissante et possède un unique zéro \(\alpha\). Elle est négative avant \(\alpha\) et positive après. Ainsi, \(f\) est décroissante jusqu’à \(\alpha\), puis croissante, et admet un minimum en cette abscisse. »
On adapte le raisonnement au tableau de \(g\). Une fonction auxiliaire peut aussi rester positive sur tout l’intervalle, sans s’annuler.
5. Les pièges fréquents
- Étudier \(g'\) et oublier d’en déduire le signe de \(g\). Le signe de \(g'\) donne d’abord les variations de l’auxiliaire.
- Transférer un signe sans contrôler le facteur. Avec un facteur négatif, les signes s’inversent.
- Oublier la continuité pour appliquer le TVI. Elle doit être vérifiée sur l’intervalle où l’on cherche un zéro.
- Confondre un zéro de \(g\) avec un zéro de \(f\). Ici, \(g(\alpha)=0\) donne \(f'(\alpha)=0\), tandis que \(f(\alpha)=e^\alpha>0\).
- Étendre la conclusion hors du domaine. Dans l’exemple, tout le travail porte sur \(x>0\).
- Remplacer trop tôt \(\alpha\) par un arrondi. Son équation permet souvent de simplifier exactement la valeur de l’extremum.
- Placer un extremum à une valeur interdite. Une limite infinie au bord du domaine n’est pas une valeur de la fonction.
6. Exercices d’application
Chaque question possède un corrigé détaillé à déplier. Écris clairement quelle fonction tu étudies et quel signe tu transfères.
Exercice 1 — Un minimum à exprimer exactement
On considère \(u(x)=x^2/2+e^{-x}\) et \(p(x)=x-e^{-x}\) sur \(\mathbb R\).
1. Montrer que \(p\) possède un unique zéro \(\beta\in]0\,;1[\), puis donner son signe.
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction est continue sur \(\mathbb R\) et \(p'(x)=1+e^{-x}>0\), donc elle est strictement croissante.
On a \(p(0)=-1<0\) et \(p(1)=1-e^{-1}>0\). Le TVI donne un zéro entre \(0\) et \(1\), unique sur \(\mathbb R\).
La fonction \(p\) est négative avant \(\beta\), nulle en \(\beta\) et positive après.
2. Calculer \(u\prime\), puis donner les variations de \(u\).
Afficher le corrigé de la question 2
On utilise le signe de \(p\) : \(u\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;\beta]\), puis strictement croissante sur \([\beta\,;+\infty[\). Elle admet un unique minimum global en \(\beta\).
3. Exprimer exactement le minimum de \(u\) à l’aide de \(\beta\).
Afficher le corrigé de la question 3
L’équation \(p(\beta)=0\) donne \(e^{-\beta}=\beta\). Ainsi :
Pour tout réel \(x\), \(u(x)\geq\beta^2/2+\beta\), avec égalité uniquement en \(\beta\).
Exercice 2 — Une auxiliaire qui reste positive
On considère \(h(x)=1+(1-x)e^{-x}\) et \(v(x)=x+xe^{-x}\) sur \([0\,;+\infty[\).
1. Étudier les variations de \(h\) et déterminer son minimum.
Afficher le corrigé de la question 1
On calcule \(h'(x)=(x-2)e^{-x}\). Le facteur exponentiel est positif : \(h\) décroît sur \([0\,;2]\), puis croît sur \([2\,;+\infty[\).
Elle admet un minimum en \(2\), égal à \(\boxed{h(2)=1-e^{-2}}\). On a aussi \(h(0)=2\) et \(\lim_{x\to+\infty}h(x)=1\).
2. Déduire le signe de \(h\) sur \([0\,;+\infty[\).
Afficher le corrigé de la question 2
Comme \(0<e^{-2}<1\), le minimum \(1-e^{-2}\) est strictement positif. Ainsi :
L’auxiliaire ne possède donc aucun zéro sur le domaine étudié.
3. Donner les variations de \(v\), puis prouver que \(v(x)=2\) possède une unique solution entre \(1\) et \(2\).
Afficher le corrigé de la question 3
On a \(v'(x)=1+(1-x)e^{-x}=h(x)>0\). La fonction \(v\) est donc strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\).
Elle est continue, et \(v(1)=1+e^{-1}<2\), tandis que \(v(2)=2+2e^{-2}>2\). Le TVI sur \([1\,;2]\) donne une solution dans \(]1\,;2[\), unique sur tout \([0\,;+\infty[\) grâce à la stricte croissance.
Exercice 3 — Un facteur négatif inverse les signes
On reprend \(p(x)=x-e^{-x}\) et son unique zéro \(\beta\in]0\,;1[\). On considère \(w(x)=2-e^{-x}-x^2/2\) sur \(\mathbb R\).
1. Calculer \(w\prime\) et l’exprimer à l’aide de \(p\).
Afficher le corrigé de la question 1
Le facteur \(-1\) est négatif : \(w'\) a donc le signe opposé à celui de \(p\).
2. Donner le signe de \(w\prime\), les variations de \(w\) et la nature de son extremum.
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Avant \(\beta\), \(p<0\), donc \(w'>0\). Après \(\beta\), \(p>0\), donc \(w'<0\).
| Expression | \(x<\beta\) | \(x=\beta\) | \(x>\beta\) |
|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(w\prime(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
La fonction \(w\) est strictement croissante sur \(]-\infty\,;\beta]\), puis strictement décroissante sur \([\beta\,;+\infty[\). Elle admet un unique maximum global en \(\beta\).
3. Exprimer exactement ce maximum et en déduire une majoration de \(w\).
Afficher le corrigé de la question 3
Avec \(e^{-\beta}=\beta\), on obtient :
Par les variations, pour tout réel \(x\) :
avec égalité uniquement pour \(x=\beta\).
- Calculer \(f'\) et isoler une fonction auxiliaire.
- Étudier les variations et les zéros de cette auxiliaire.
- Établir son signe, puis contrôler les autres facteurs de \(f'\).
- Donner les variations de \(f\), son domaine et ses extrema.
- Utiliser l’équation de la racine pour simplifier une valeur exacte.