Objectif : organiser une étude qui relie le domaine, les limites, les variations, le signe, la convexité et les tangentes.
Cette fiche rassemble les outils des méthodes précédentes. Une étude complète doit permettre d’expliquer les principales caractéristiques de la courbe, puis de résoudre des questions sur la fonction.
1. Relier chaque question au bon outil
Le domaine vient en premier. Si la fonction est définie sur plusieurs intervalles, on mène l’étude sur chacun d’eux.
| Étape | Question à traiter | Outil à utiliser |
|---|---|---|
| 1. Domaine | Où la fonction est-elle définie, continue et dérivable ? | Dénominateurs, racines, logarithmes et opérations sur les fonctions usuelles. |
| 2. Limites | Que devient \(f(x)\) aux bornes du domaine ? | Limites usuelles, transformations et croissance comparée ; limites à gauche et à droite si nécessaire. |
| 3. Variations | Où la fonction croît-elle ou décroît-elle ? A-t-elle des extrema ? | Signe de \(f'\), tableau de variations et valeurs aux abscisses critiques. |
| 4. Signe | Où \(f(x)\) est-il positif, nul ou négatif ? | Factorisation, zéros de \(f\), ou continuité et stricte monotonie. |
| 5. Convexité | Où la fonction est-elle convexe ou concave ? | Signe de \(f''\), puis recherche des changements de convexité. |
| 6. Tangente | Quelle est la tangente au point d’abscisse \(a\) ? | \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\), lorsque \(f\) est dérivable en \(a\). |
Trois signes, trois conclusions : le signe de \(f\) donne la position par rapport à l’axe des abscisses ; celui de \(f'\) donne les variations ; celui de \(f''\) donne la convexité.
Adapter le plan à l’énoncé. Une factorisation peut donner le signe dès le début. Si une dérivée est difficile à étudier, on peut utiliser la méthode de la fonction auxiliaire. Le but est de justifier les résultats demandés.
2. Un exemple entièrement corrigé
Énoncé. Mener une étude de la fonction :
Préciser ses limites, ses variations, son signe, sa convexité, son point d’inflexion et la tangente en ce point.
Étape 1 — Domaine et régularité
Les fonctions \(x\mapsto x+2\) et \(x\mapsto e^{-x}\) sont définies et deux fois dérivables sur \(\mathbb R\). Leur produit aussi. Ainsi, \(f\) est définie, continue et deux fois dérivable sur tout \(\mathbb R\).
Étape 2 — Limites et asymptote
En \(+\infty\), on écrit \(f(x)=xe^{-x}+2e^{-x}\). Par croissance comparée, \(xe^{-x}\to0\), et \(e^{-x}\to0\). Donc :
Pour \(x>-2\), \(f(x)>0\) : la courbe approche la droite \(y=0\) par au-dessus en \(+\infty\). Cette droite est une asymptote horizontale à droite.
En \(-\infty\), on pose \(t=-x\). Alors \(t\to+\infty\) et \(f(x)=(2-t)e^t\). Les facteurs tendent respectivement vers \(-\infty\) et \(+\infty\), d’où :
Étape 3 — Dérivée, variations et maximum
La dérivée de \(e^{-x}\) est \(-e^{-x}\). Avec la formule du produit :
Comme \(e^{-x}>0\), la dérivée a le signe opposé à celui de \(x+1\). Elle est positive avant \(-1\), nulle en \(-1\), puis négative. On calcule \(f(-1)=e\).
| \(x\) | \(-\infty\) | Intervalle 1 | \(-1\) | Intervalle 2 | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f\prime(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | croissante | \(e\) | décroissante | \(0\) |
La fonction est strictement croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), puis strictement décroissante sur \([-1\,;+\infty[\). Elle admet un unique maximum global \(e\), atteint en \(-1\).
Pour tout réel \(x\), \(f(x)\leq e\), avec égalité uniquement pour \(x=-1\). Le \(0\) placé à droite du tableau est une limite à l’infini.
Étape 4 — Zéro et signe de la fonction
L’exponentielle ne s’annule jamais et reste positive. Ainsi, \(f(x)=0\) équivaut à \(x+2=0\), et \(f(x)\) a le même signe que \(x+2\).
| Expression | \(x<-2\) | \(x=-2\) | \(x>-2\) |
|---|---|---|---|
| \(x+2\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(e^{-x}\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
La courbe coupe l’axe des abscisses au point \(B(-2\,;0)\). Par exemple, on lit directement :
Étape 5 — Convexité et point d’inflexion
La dérivée seconde a le signe de \(x\) :
| Expression | \(x<0\) | \(x=0\) | \(x>0\) |
|---|---|---|---|
| \(f\prime\prime(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
La fonction est concave sur \(]-\infty\,;0]\) et convexe sur \([0\,;+\infty[\).
La convexité change en \(0\), qui est intérieur au domaine. Comme \(f(0)=2\), la courbe admet un unique point d’inflexion :
Étape 6 — Tangente au point d’inflexion
On a \(f'(0)=-1\) et \(f(0)=2\). La formule de la tangente donne :
Le maximum est en \(-1\), le zéro en \(-2\) et le point d’inflexion en \(0\). Ces trois abscisses répondent à trois questions différentes.
Retrouver tous les résultats sur une même courbe
\(B(-2\,;0)\) est le zéro, \(M(-1\,;e)\) le maximum et \(A(0\,;2)\) le point d’inflexion.
La courbe est représentée sur \([-2{,}4\,;4{,}5]\). Les calculs établissent les résultats sur tout \(\mathbb R\).
3. Utiliser l’étude pour compter les solutions
On reprend \(f(x)=(x+2)e^{-x}\) et on cherche, suivant le réel \(m\), le nombre de solutions de \(f(x)=m\).
La fonction est continue. Sur \(]-\infty\,;-1]\), elle est strictement croissante et prend exactement les valeurs de \(]-\infty\,;e]\). Sur \([-1\,;+\infty[\), elle est strictement décroissante et prend exactement les valeurs de \(]0\,;e]\).
Chaque valeur de l’un de ces intervalles est atteinte une seule fois sur la branche correspondante. Pour \(m=e\), les deux branches donnent le même point, d’abscisse \(-1\).
| Valeur de \(m\) | Nombre | Où sont les solutions ? |
|---|---|---|
| \(m<0\) | 1 | Sur la branche croissante, avec \(x<-2\). |
| \(m=0\) | 1 | Uniquement \(x=-2\). |
| \(0<m<e\) | 2 | Une dans \(]-2\,;-1[\), l’autre dans \(]-1\,;+\infty[\). |
| \(m=e\) | 1 | Uniquement \(x=-1\). |
| \(m>e\) | 0 | Le maximum vaut \(e\). |
Une limite n’est pas une solution supplémentaire. Quand \(x\to+\infty\), \(f(x)\to0\), mais \(f(x)>0\) sur la branche décroissante. L’équation \(f(x)=0\) ne possède donc qu’une solution, \(-2\).
Pour approfondir, revoir la méthode 7 : compter les solutions d’une équation.
4. Une rédaction type pour le bilan
« La fonction est définie, continue et deux fois dérivable sur \(\mathbb R\). Ses limites sont \(-\infty\) à gauche et \(0\) à droite.
L’étude du signe de \(f'\) montre que \(f\) croît jusqu’en \(-1\), puis décroît. Elle admet un maximum global égal à \(e\).
La fonction est négative pour \(x<-2\), nulle en \(-2\), puis positive. L’étude de \(f''\) montre qu’elle est concave jusqu’en \(0\), puis convexe.
Le point \(A(0\,;2)\) est donc un point d’inflexion, et la tangente en ce point a pour équation \(y=2-x\). »
Ce bilan vient après les calculs et les justifications. Il permet de vérifier que tous les résultats décrivent la même courbe.
5. Les pièges fréquents
- Commencer les calculs sans regarder le domaine. Une valeur interdite sépare des intervalles d’étude.
- Confondre \(f\), \(f'\) et \(f''\). Un zéro de \(f'\) ne donne pas automatiquement un zéro de \(f\).
- Oublier le signe moins devant un produit. Ici, \(f'\) a le signe opposé à celui de \(x+1\).
- Conclure à un extremum dès que \(f'(a)=0\). Il faut étudier les variations de part et d’autre de \(a\).
- Confondre extremum local et global. Un maximum local ne majore pas forcément toute la fonction.
- Conclure à une inflexion dès que \(f''(a)=0\). Il faut un changement de convexité à un point du domaine.
- Compter une limite comme une valeur atteinte. Vérifier si la borne de l’ensemble des valeurs est incluse.
- Utiliser le dessin comme justification. Le graphique aide à lire les résultats ; les calculs et les théorèmes les établissent.
6. Trois études guidées
Chaque question possède un corrigé détaillé à déplier. Pour chaque fonction, sépare bien les limites, les variations, le signe et la convexité.
Exercice 1 — Un polynôme et un zéro sans changement de signe
On considère \(u(x)=x^3-3x+2\).
1. Donner le domaine, justifier la continuité et la dérivabilité de \(u\), puis calculer ses limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
Afficher le corrigé de la question 1
La fonction \(u\) est polynomiale : elle est définie, continue et deux fois dérivable sur \(\mathbb R\).
Le terme dominant est \(x^3\). En effet, pour \(x\neq0\), \(u(x)=x^3(1-3/x^2+2/x^3)\), et le facteur entre parenthèses tend vers \(1\). Ainsi :
2. Étudier les variations et les extrema de \(u\). En utilisant \(u(x)=(x-1)^2(x+2)\), donner ses zéros et son signe.
Afficher le corrigé de la question 2
La dérivée est \(u'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Elle est positive pour \(x<-1\) et \(x>1\), négative pour \(-1<x<1\), et nulle en \(-1\) et en \(1\).
Comme \(u(-1)=4\) et \(u(1)=0\), on obtient :
| \(x\) | \(-\infty\) | Intervalle 1 | \(-1\) | Intervalle 2 | \(1\) | Intervalle 3 | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u\prime(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(u(x)\) | \(-\infty\) | croissante | \(4\) | décroissante | \(0\) | croissante | \(+\infty\) |
La fonction est strictement croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), strictement décroissante sur \([-1\,;1]\), puis strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\).
Elle admet un maximum local égal à \(4\) en \(-1\) et un minimum local égal à \(0\) en \(1\). Ce ne sont pas des extrema globaux, car les limites sont infinies de signes opposés.
La factorisation donne exactement deux zéros : \(\boxed{-2\text{ et }1}\). Le facteur \((x-1)^2\) est positif sauf en \(1\), où il s’annule ; le signe est donc celui de \(x+2\), avec un zéro supplémentaire en \(1\).
| Expression | \(x<-2\) | \(x=-2\) | \(-2<x<1\) | \(x=1\) | \(x>1\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(u(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
Le signe de \(u\) change en \(-2\), mais ne change pas en \(1\). La courbe touche l’axe des abscisses au point de minimum \((1\,;0)\).
3. Étudier la convexité de \(u\), déterminer son point d’inflexion et l’équation de la tangente en ce point.
Afficher le corrigé de la question 3
On calcule \(u''(x)=6x\). La dérivée seconde est négative pour \(x<0\), nulle en \(0\) et positive pour \(x>0\).
La fonction est donc concave sur \(]-\infty\,;0]\) et convexe sur \([0\,;+\infty[\). Le changement de signe en \(0\) donne un unique point d’inflexion :
Comme \(u(0)=2\) et \(u'(0)=-3\), la tangente a pour équation :
Le point d’inflexion n’est pas un extremum : la pente de la tangente y vaut \(-3\), et la fonction reste décroissante au voisinage de \(0\).
Exercice 2 — Une fonction rationnelle et une valeur interdite
On considère \(v(x)=(x+1)/(x-1)\).
1. Déterminer le domaine de \(v\), ses limites aux bornes de ce domaine et ses asymptotes. On pourra utiliser \(v(x)=1+2/(x-1)\).
Afficher le corrigé de la question 1
Le dénominateur doit être non nul : \(\boxed{D_v=\mathbb R\setminus\{1\}}\). La fonction est continue et deux fois dérivable sur chacun des intervalles \(]-\infty\,;1[\) et \(]1\,;+\infty[\).
Avec \(v(x)=1+2/(x-1)\), on obtient :
À gauche de \(1\), le dénominateur tend vers \(0\) par valeurs négatives ; à droite, par valeurs positives :
La courbe admet une asymptote verticale \(x=1\) et une asymptote horizontale \(y=1\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\). La valeur \(1\) de la limite n’est jamais atteinte : \(2/(x-1)\neq0\).
2. Étudier les variations de \(v\) sur chacun des deux intervalles de son domaine, puis donner son zéro et son signe.
Afficher le corrigé de la question 2
En dérivant \(1+2/(x-1)\), on trouve :
La fonction est strictement décroissante sur chacun des deux intervalles du domaine :
| \(x\) | \(-\infty\) | Intervalle 1 | \(1^-\) |
|---|---|---|---|
| \(v\prime(x)\) | \(-\) | ||
| \(v(x)\) | \(1\) | décroissante | \(-\infty\) |
| \(x\) | \(1^+\) | Intervalle 1 | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(v\prime(x)\) | \(-\) | ||
| \(v(x)\) | \(+\infty\) | décroissante | \(1\) |
Les valeurs aux extrémités des tableaux sont des limites. Il n’existe pas de valeur \(v(1)\), et la fonction n’admet aucun extremum sur son domaine.
Le numérateur \(x+1\) s’annule en \(-1\), qui appartient au domaine : \(\boxed{v(-1)=0}\). On étudie ensuite le signe du numérateur et du dénominateur séparément.
| Expression | \(x<-1\) | \(x=-1\) | \(-1<x<1\) | \(x=1\) | \(x>1\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(v(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(\text{non définie}\) | \(+\) |
On ne dit pas que \(v\) est décroissante sur tout \(D_v\) : les deux intervalles sont séparés. Par exemple, \(0<2\), mais \(v(0)=-1<3=v(2)\).
3. Étudier la convexité de \(v\). Sa courbe possède-t-elle un point d’inflexion ? Donner l’équation de la tangente au point d’abscisse \(0\).
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Le dénominateur est négatif pour \(x<1\) et positif pour \(x>1\). La fonction est concave sur \(]-\infty\,;1[\) et convexe sur \(]1\,;+\infty[\).
Il n’y a aucun point d’inflexion. Sur chaque intervalle du domaine, la convexité reste la même. En \(1\), aucun point de la courbe n’existe : la valeur est interdite.
Le point d’abscisse \(0\) appartient à la courbe, car \(0\neq1\). On calcule \(v(0)=-1\) et \(v'(0)=-2\). La tangente en ce point a donc pour équation :
Une tangente peut être calculée en tout point où la fonction est dérivable ; le point choisi n’a pas besoin d’être un point d’inflexion.
Exercice 3 — Une exponentielle et une équation à deux solutions
On considère \(w(x)=(x-2)e^x\).
1. Justifier le domaine et la régularité de \(w\), puis calculer ses limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\).
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La fonction \(w(x)=(x-2)e^x\) est un produit de fonctions définies et deux fois dérivables sur \(\mathbb R\). Elle est donc définie, continue et deux fois dérivable sur \(\mathbb R\).
Quand \(x\to-\infty\), on pose \(t=-x\), qui tend vers \(+\infty\). Alors \(w(x)=-(t+2)e^{-t}\), et les limites usuelles \(te^{-t}\to0\) et \(e^{-t}\to0\) donnent :
La fonction est négative pour \(x<2\) : cette limite est approchée par valeurs négatives. La droite \(y=0\) est une asymptote horizontale en \(-\infty\).
Quand \(x\to+\infty\), \(x-2\to+\infty\) et \(e^x\to+\infty\), donc :
2. Étudier les variations, l’extremum et le signe de \(w\). Combien de solutions l’équation \(w(x)=-1\) possède-t-elle ?
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Par la formule du produit :
Comme \(e^x>0\), la dérivée est négative avant \(1\), nulle en \(1\), puis positive. Avec \(w(1)=-e\), on obtient :
| \(x\) | \(-\infty\) | Intervalle 1 | \(1\) | Intervalle 2 | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(w\prime(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(w(x)\) | \(0\) | décroissante | \(-e\) | croissante | \(+\infty\) |
La fonction est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;1]\), puis strictement croissante sur \([1\,;+\infty[\). Elle admet un unique minimum global \(-e\), atteint en \(1\).
Le signe de \(w(x)\) est celui de \(x-2\) :
| Expression | \(x<2\) | \(x=2\) | \(x>2\) |
|---|---|---|---|
| \(w(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
Pour l’équation \(w(x)=-1\), on remarque que \(-e<-1<0\).
- Sur \(]-\infty\,;1]\), la fonction est continue et strictement décroissante, avec pour ensemble de valeurs \([-e\,;0[\) : il y a exactement une solution.
- Sur \([1\,;+\infty[\), elle est continue et strictement croissante, avec pour ensemble de valeurs \([-e\,;+\infty[\) : il y a exactement une solution.
Ces solutions sont distinctes car \(w(1)=-e\neq-1\). L’équation possède donc \(\boxed{\text{deux solutions réelles}}\).
3. Étudier la convexité de \(w\), donner son point d’inflexion et l’équation de la tangente en ce point.
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Le signe est celui de \(x\). La fonction est concave sur \(]-\infty\,;0]\) et convexe sur \([0\,;+\infty[\).
La dérivée seconde s’annule en \(0\) en changeant de signe, et \(w(0)=-2\). Le point d’inflexion est donc :
La pente vaut \(w'(0)=-1\), d’où :
L’abscisse du minimum est \(1\), tandis que celle du point d’inflexion est \(0\) : les deux questions se traitent avec des dérivées différentes.
- Préciser le domaine, la continuité et la dérivabilité.
- Calculer les limites aux bornes de chaque intervalle du domaine.
- Étudier \(f'\), les variations et les extrema.
- Déterminer les zéros et le signe de \(f\).
- Étudier \(f''\), la convexité et les points d’inflexion.
- Calculer la tangente demandée et utiliser le bilan pour répondre aux équations ou inéquations.