Représentation paramétrique d’une droite : le problème type
On connaît un point de la droite et un vecteur directeur. L’objectif est d’écrire les coordonnées de tous les points de cette droite à l’aide d’un paramètre réel.
\[
\begin{cases}
x=x_A+at\\
y=y_A+bt\\
z=z_A+ct
\end{cases}
\qquad t\in\mathbb R.
\]
Déterminer une représentation paramétrique : la méthode en vidéo
Dans l’exemple, on détermine d’abord le vecteur directeur \(\overrightarrow{AB}\), puis on utilise le point \(A\). Une seconde représentation est ensuite obtenue en prenant \(B\) comme point de base.
Écrire une représentation paramétrique en 3 étapes
- Déterminer un vecteur directeur. Avec deux points \(A\) et \(B\) de la droite, on peut prendre \(\overrightarrow{AB}\).
- Choisir un point de base. On utilise par exemple le point \(A(x_A;y_A;z_A)\).
- Écrire les trois équations paramétriques en utilisant les coordonnées du point choisi et celles du vecteur directeur, sans oublier \(t\in\mathbb R\).
Conclusion importante : une droite admet plusieurs représentations paramétriques. On peut changer le point de base ou choisir un autre vecteur directeur non nul colinéaire au premier.
✏️ À vous de jouer !
À toi maintenant de construire deux représentations paramétriques de la même droite.
Exercice corrigé – Représentations paramétriques d’une droite de l’espace
🏁 Tu maîtrises maintenant l’idée essentielle : un point de la droite + un vecteur directeur permettent d’écrire une représentation paramétrique, et cette représentation n’est pas unique.