A — Par le calcul
Transformer l'inégalité :
1500 − 900 × 0,92n > 1400
puis comparer deux valeurs consécutives, sans utiliser le logarithme.
Le problème type
Le réflexe à retenir : trouver un rang qui convient ne suffit pas. Il faut déterminer le premier rang qui convient et, en pratique, vérifier le rang précédent.
Une entreprise installe des panneaux photovoltaïques. La quantité d'énergie produite au cours de l'année 2026 + n, en MWh, est modélisée par la suite :
un = 1500 − 900 × 0,92n
On cherche le plus petit entier n tel que :
un > 1400.
🎬 La méthode en vidéo
Le corrigé est détaillé pas à pas : résolution sans logarithme, vérification du premier rang, calculatrice, Python et justification du « à partir de ».
Trois façons de rechercher le seuil
B — Avec la calculatrice
Saisir la formule de la suite, afficher une table de valeurs et repérer le premier rang pour lequel un dépasse 1400.
Il faut aussi contrôler le rang précédent.
C — Avec Python
Une boucle while permet d'avancer tant que le seuil n'est pas dépassé.
n = 0
u = 1500 - 900 * 0.92**n
while u <= 1400:
n = n + 1
u = 1500 - 900 * 0.92**n
print(n)
⚠️ Une réponse du type « u30 > 1400 donc n = 30 » n'est pas suffisante : 30 peut convenir sans être le premier rang qui convient.
Pour conclure correctement : on vérifie que u26 < 1400 et que u27 > 1400. Le premier rang est donc 27, ce qui correspond à l'année 2026 + 27 = 2053. Comme la suite est croissante, le seuil restera ensuite dépassé.
✏️ À toi de jouer !
À ton tour de déterminer un premier rang de dépassement.
Exercice d'entraînement
Une installation produit une quantité d'énergie modélisée par la suite :
vn = 2000 − 1200 × 0,9n, n ∈ ℕ.
Le terme vn correspond à la production, en MWh, de l'année 2030 + n.
1. Déterminer le plus petit entier n tel que vn > 1800.
2. En déduire l'année correspondante.
3. Justifier que la production restera ensuite supérieure à 1800 MWh.
Seuil = inégalité + premier rang + vérification du rang précédent + interprétation.