Méthode 2 — Démontrer une chaîne d'inégalités par récurrence
Une méthode pas à pas pour rédiger correctement l'initialisation, l'hérédité et la conclusion.
Le problème type
On considère la suite (un) définie par :
On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par f(x) = (5x + 4)/(x + 2), supposée strictement croissante sur [0 ; +∞[.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :
💡 Le réflexe à retenir
Quand la propriété est une chaîne d'inégalités, on travaille autant que possible avec la chaîne entière. Ici, la croissance de f permet de conserver l'ordre lorsque l'on applique f aux différents membres.
🎬 La méthode expliquée en vidéo
La rédaction à connaître
- Propriété. Soit P la propriété : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 4, pour n entier naturel.
- Initialisation. u0 = 1 et u1 = 3. Donc 0 ≤ u0 ≤ u1 ≤ 4 : P est vraie au rang initial n = 0.
- Hérédité. Soit n un entier naturel fixé. On suppose P vraie au rang n : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ 4.
- La fonction f étant strictement croissante sur [0 ; 4], elle conserve l'ordre :
f(0) ≤ f(un) ≤ f(un+1) ≤ f(4).Or f(0)=2, f(un)=un+1, f(un+1)=un+2 et f(4)=4. Ainsi2 ≤ un+1 ≤ un+2 ≤ 4,donc, a fortiori, 0 ≤ un+1 ≤ un+2 ≤ 4. L'hérédité est prouvée.
- Conclusion. P est vraie au rang initial et P est héréditaire. Donc, d'après le principe de récurrence, P est vraie pour tout entier naturel n.
✏️ À toi de jouer !
Entraîne-toi maintenant sur un nouvel exemple utilisant la même méthode.
Exercice d'entraînement — Méthode 2
On considère la suite (vn) définie par :
On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(x) = (4x + 3)/(x + 2).
On suppose que g est strictement croissante sur [0 ; 3].
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :