Le problème type
Pour étudier le sens de variation d'une suite, un premier réflexe consiste à comparer deux termes consécutifs, en particulier en étudiant le signe de un+1 − un.
🎬 La méthode expliquée pas à pas
Regarde la capsule puis essaie de refaire seul le calcul de la différence et l'étude de son signe.
La méthode en 5 étapes
- Calculer éventuellement quelques termes pour conjecturer le sens de variation.
- Écrire un+1 en remplaçant n par n+1 dans l'expression de un.
- Calculer la différence un+1 − un.
- Simplifier l'expression puis étudier son signe pour tout entier naturel n.
- Conclure :
un+1 − un > 0 ⇒ (un) strictement croissante
un+1 − un < 0 ⇒ (un) strictement décroissante
✏️ À toi de jouer !
À toi de réutiliser immédiatement la méthode sur une autre suite.
Exercice d'entraînement — Méthode 3
On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par :
vn = (5n + 1)/(n + 2).
1. Calculer v0, v1, v2 et v3. Que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite ?
2. Calculer vn+1 − vn.
3. En déduire le sens de variation de la suite (vn).
4. Écrire vn sous la forme 5 − 9/(n+2), puis conjecturer la limite de la suite.
🏁 Tu sais maintenant transformer une conjecture sur les variations en une véritable démonstration.