Comment montrer qu’une suite est géométrique ? | Suites et récurrence

Le problème type

On part d’une suite définie par récurrence et d’une suite auxiliaire. L’objectif est de faire apparaître une relation de la forme v_n+1 = qv_n.

Exemple : montrer qu'une suite auxiliaire est géométrique

Le réflexe à retenir : partir de v_n+1, remplacer ce que l’on connaît grâce à la relation de récurrence, puis transformer l’expression jusqu’à faire apparaître v_n.

🎬 La méthode expliquée pas à pas

Regarde la capsule puis essaie de refaire seul les transformations.

La méthode en 5 étapes

Écrire v_n+1 à partir de la définition de la suite auxiliaire.
Remplacer u_n+1 par son expression donnée par la relation de récurrence.
À partir de v_n = u_n − 3000, écrire u_n = v_n + 3000.
Remplacer u_n et simplifier.
Obtenir une égalité de la forme v_n+1 = qv_n et conclure : (v_n) est géométrique de raison q.

✏️ À toi de jouer !

Entraîne-toi maintenant sur un nouvel exemple utilisant exactement la même méthode.

Exercice d'entraînement — Méthode 1

On considère la suite (u_n) définie par :

u₀ = 500 et u_n+1 = 0,8u_n + 600.

Pour tout entier naturel n, on pose :

v_n = u_n − 3000.

Démontrer que la suite (v_n) est géométrique et préciser sa raison.

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🏁 Tu maîtrises maintenant cette méthode : entraîne-toi à reconnaître et transformer d'autres suites auxiliaires.