Avant d'utiliser une loi binomiale, il faut toujours justifier que la situation étudiée correspond bien à un schéma de Bernoulli. Cette étape est essentielle dans les exercices et les sujets de bac.
1. Les quatre questions à se poser
1. Répète-t-on la même expérience ?
La même épreuve doit être réalisée un nombre fixé de fois, noté \(n\).
2. Chaque épreuve a-t-elle deux issues ?
On distingue un succès \(S\) et un échec \(\overline S\).
3. La probabilité du succès reste-t-elle constante ?
À chaque épreuve :
\[
P(S)=p.
\]
4. Les épreuves sont-elles indépendantes ?
Le résultat d'une épreuve ne doit pas modifier les probabilités des suivantes.
Si ces quatre conditions sont vérifiées, on a un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\).
2. La variable aléatoire à définir
On note \(X\) le nombre de succès obtenus au cours des \(n\) épreuves.
Alors :
\[
\boxed{X\sim\mathcal B(n,p)}.
\]
Attention. La loi binomiale ne décrit pas une succession précise de succès et d'échecs. Elle décrit le nombre total de succès obtenus.
3. Une rédaction type
Dans un exercice, une rédaction complète peut prendre la forme suivante :
« On considère comme succès l'événement \(S\) : … . Cette expérience est répétée \(n\) fois de manière indépendante et la probabilité du succès reste constante, égale à \(p\). Il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\). Si \(X\) désigne le nombre de succès obtenus, alors \[ \boxed{X\sim\mathcal B(n,p)}. \] »
« On considère comme succès l'événement \(S\) : … . Cette expérience est répétée \(n\) fois de manière indépendante et la probabilité du succès reste constante, égale à \(p\). Il s'agit donc d'un schéma de Bernoulli de paramètres \(n\) et \(p\). Si \(X\) désigne le nombre de succès obtenus, alors \[ \boxed{X\sim\mathcal B(n,p)}. \] »
4. Exemple détaillé
Une entreprise sait que \(4\,\%\) des pièces qu'elle fabrique sont défectueuses. On prélève \(25\) pièces dans une production très importante, de sorte que les prélèvements peuvent être considérés comme indépendants.
On note \(X\) le nombre de pièces défectueuses parmi les \(25\) pièces prélevées.
Étape 1 — Définir le succès
On choisit : \[ S:\text{ « la pièce prélevée est défectueuse »}. \] Ainsi : \[ p=P(S)=0{,}04. \]Étape 2 — Identifier le nombre d'épreuves
On prélève \(25\) pièces : \[ n=25. \]Étape 3 — Vérifier les conditions
Chaque prélèvement possède deux issues : la pièce est défectueuse ou elle ne l'est pas. Les prélèvements sont assimilés à des épreuves indépendantes et la probabilité d'obtenir une pièce défectueuse reste égale à \(0{,}04\).Conclusion
On a donc un schéma de Bernoulli de paramètres \(25\) et \(0{,}04\). Comme \(X\) compte le nombre de succès : \[ \boxed{X\sim\mathcal B(25,0{,}04)}. \]5. Situation binomiale ou non ?
OUI
On lance \(20\) fois une pièce équilibrée et \(X\) compte le nombre de « pile ».
Les lancers sont indépendants et \[ p=\frac12 \] reste constant. Donc : \[ X\sim\mathcal B\left(20,\frac12\right). \]
On lance \(20\) fois une pièce équilibrée et \(X\) compte le nombre de « pile ».
Les lancers sont indépendants et \[ p=\frac12 \] reste constant. Donc : \[ X\sim\mathcal B\left(20,\frac12\right). \]
NON, en général
Une urne contient \(4\) boules rouges et \(6\) boules bleues. On tire successivement \(5\) boules sans remise.
La composition de l'urne change après chaque tirage : la probabilité d'obtenir une boule rouge n'est donc pas constante et les tirages ne sont pas indépendants.
Une urne contient \(4\) boules rouges et \(6\) boules bleues. On tire successivement \(5\) boules sans remise.
La composition de l'urne change après chaque tirage : la probabilité d'obtenir une boule rouge n'est donc pas constante et les tirages ne sont pas indépendants.
6. Cas particulier des tirages avec remise
Lors de tirages successifs avec remise, la composition de l'urne est rétablie après chaque tirage. La probabilité du succès reste donc constante et les tirages sont indépendants.
Une urne contient \(3\) boules rouges et \(7\) boules bleues. On effectue \(8\) tirages avec remise et \(X\) compte le nombre de boules rouges obtenues.
Alors :
\[
p=\frac3{10}
\]
et :
\[
\boxed{X\sim\mathcal B\left(8,\frac3{10}\right)}.
\]
7. Les pièges fréquents
- Oublier de définir clairement le succès.
- Donner directement \(X\sim\mathcal B(n,p)\) sans justifier les conditions.
- Confondre le nombre de succès \(X\) avec une variable de Bernoulli qui ne prend que les valeurs \(0\) et \(1\).
- Utiliser une loi binomiale lors de tirages sans remise alors que les probabilités changent sensiblement.
- Choisir \(p\) comme probabilité de l'échec alors que le succès défini correspond à l'événement contraire.
8. Méthode express
À chaque fois qu'une loi binomiale semble apparaître, écrire mentalement :
- Succès : quel événement ?
- \(n\) : combien de répétitions ?
- \(p\) : quelle probabilité du succès ?
- Indépendance : est-elle justifiée ?
- Variable : \(X\) compte-t-elle bien le nombre de succès ?
Exercice d'entraînement
Un test médical donne un résultat positif chez \(2\,\%\) des personnes d'une population donnée. On sélectionne au hasard \(50\) personnes dans des conditions permettant d'assimiler les sélections à des épreuves indépendantes. On note \(X\) le nombre de tests positifs.
1. Définir le succès.
2. Justifier que la situation peut être modélisée par une loi binomiale.
3. Donner les paramètres de cette loi.
1. Définir le succès.
2. Justifier que la situation peut être modélisée par une loi binomiale.
3. Donner les paramètres de cette loi.
Afficher la correction
1. On choisit comme succès :
\[ S:\text{ « le test est positif »}. \] Alors : \[ p=P(S)=0{,}02. \]2. La même expérience est répétée \(50\) fois. Chaque sélection conduit à deux issues : test positif ou test non positif. Les sélections sont assimilées à des épreuves indépendantes et la probabilité d'un test positif reste constante, égale à \(0{,}02\).
On a donc un schéma de Bernoulli.
3. Comme \(X\) compte le nombre de tests positifs parmi les \(50\) personnes :
\[ \boxed{X\sim\mathcal B(50,0{,}02)}. \]