Une fois qu'une situation binomiale a été reconnue, il faut identifier correctement ses deux paramètres \(n\) et \(p\), puis définir la variable aléatoire \(X\). Une erreur à cette étape fausse tout le reste du problème.
1. Les trois éléments à identifier
\(n\)
nombre de répétitions de l'épreuve de Bernoulli
\(p\)
probabilité du succès à une épreuve
\(X\)
nombre de succès obtenus au cours des \(n\) épreuves
Une fois ces trois éléments identifiés, on peut écrire :
\[
\boxed{X\sim\mathcal B(n,p)}.
\]
2. Comment déterminer \(n\) ?
Le paramètre \(n\) est le nombre total d'épreuves de Bernoulli répétées.
On interroge \(80\) personnes et l'on s'intéresse au nombre de personnes répondant « oui ».
Alors :
\[
\boxed{n=80}.
\]
Attention. \(n\) ne dépend pas du nombre de succès recherché. Par exemple, dans « obtenir exactement 12 succès parmi 80 essais », on a toujours :
\[
n=80.
\]
Le nombre \(12\) correspond à une valeur possible de \(X\), pas au paramètre \(n\).
3. Comment déterminer \(p\) ?
Le paramètre \(p\) est la probabilité du succès que l'on a choisi.
Une machine produit \(7\,\%\) de pièces défectueuses. Si l'on choisit comme succès :
\[
S:\text{ « la pièce est défectueuse »},
\]
alors :
\[
\boxed{p=0{,}07}.
\]
Si le succès était au contraire « la pièce n'est pas défectueuse », alors :
\[
p=1-0{,}07=0{,}93.
\]
Il faut donc toujours définir le succès avant d'identifier \(p\).
4. Comment définir \(X\) ?
La variable aléatoire \(X\) doit être définie comme le nombre de succès obtenus parmi les \(n\) épreuves.
Une formulation propre est :
« On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de … parmi les \(n\) … »
« On note \(X\) la variable aléatoire qui compte le nombre de … parmi les \(n\) … »
On lance \(15\) fois un dé équilibré et on appelle succès « obtenir un nombre supérieur ou égal à \(5\) ».
Alors :
\[
p=P(\{5,6\})=\frac{2}{6}=\frac13.
\]
On note \(X\) le nombre de lancers, parmi les \(15\), pour lesquels le résultat est supérieur ou égal à \(5\).
Ainsi :
\[
\boxed{X\sim\mathcal B\left(15,\frac13\right)}.
\]
5. Exemple complet
Un basketteur réussit un lancer franc avec une probabilité de \(0{,}82\). Il effectue \(20\) lancers francs que l'on suppose indépendants.
Étape 1 — Choisir le succès
\[ S:\text{ « le lancer franc est réussi »}. \]Étape 2 — Déterminer \(p\)
\[ \boxed{p=0{,}82}. \]Étape 3 — Déterminer \(n\)
Le joueur effectue \(20\) lancers : \[ \boxed{n=20}. \]Étape 4 — Définir \(X\)
On note \(X\) le nombre de lancers francs réussis parmi les \(20\) lancers.Conclusion
\[ \boxed{X\sim\mathcal B(20,0{,}82)}. \]6. Trois mini-situations
| Situation | \(n\) | Succès choisi | \(p\) |
|---|---|---|---|
| 30 lancers d'une pièce équilibrée | \(30\) | Obtenir pile | \(\frac12\) |
| 50 produits, 4 % défectueux | \(50\) | Produit défectueux | \(0{,}04\) |
| 12 tirages avec remise dans une urne contenant 3 rouges et 7 bleues | \(12\) | Obtenir une rouge | \(\frac3{10}\) |
7. Lire correctement un pourcentage
Un pourcentage doit être converti en probabilité décimale :
\[
8\,\%=0{,}08,\qquad
35\,\%=0{,}35,\qquad
2{,}5\,\%=0{,}025.
\]
Ainsi, si \(2{,}5\,\%\) des objets sont défectueux et que « défectueux » est le succès :
\[
\boxed{p=0{,}025}.
\]
8. Les pièges fréquents
- Prendre pour \(p\) la probabilité de l'échec au lieu de celle du succès défini.
- Prendre pour \(n\) le nombre de succès demandé au lieu du nombre total d'épreuves.
- Écrire seulement « \(X\) suit une loi binomiale » sans définir ce que compte \(X\).
- Oublier de convertir un pourcentage en nombre décimal.
- Changer de définition du succès en cours de résolution.
9. Méthode express
Dans l'ordre :
- Je définis le succès \(S\).
- Je lis ou calcule \(p=P(S)\).
- Je compte le nombre d'épreuves : c'est \(n\).
- Je définis \(X\) comme le nombre de succès parmi les \(n\) épreuves.
- J'écris : \[ \boxed{X\sim\mathcal B(n,p)}. \]
Exercice d'entraînement
Dans une population, \(18\,\%\) des individus possèdent une caractéristique donnée. On choisit au hasard \(40\) individus dans des conditions assimilées à des sélections indépendantes. On note \(X\) le nombre d'individus possédant cette caractéristique.
1. Définir le succès.
2. Donner \(n\) et \(p\).
3. Donner la loi suivie par \(X\).
1. Définir le succès.
2. Donner \(n\) et \(p\).
3. Donner la loi suivie par \(X\).
Afficher la correction
1. On choisit comme succès :
\[ S:\text{ « l'individu possède la caractéristique »}. \]2. On sélectionne \(40\) individus, donc :
\[ \boxed{n=40}. \] La probabilité du succès vaut : \[ 18\,\%=0{,}18, \] donc : \[ \boxed{p=0{,}18}. \]3. \(X\) compte le nombre de succès parmi les \(40\) sélections. Ainsi :
\[ \boxed{X\sim\mathcal B(40,0{,}18)}. \]