Dans les exercices de loi binomiale, la difficulté vient très souvent de la traduction de la phrase. Avant tout calcul, il faut transformer correctement les expressions « exactement », « au plus », « au moins », « plus de », « moins de » ou « entre deux valeurs » en événements portant sur \(X\).
1. Le tableau à connaître
| Phrase | Événement | Probabilité |
|---|---|---|
| Exactement \(k\) succès | \(X=k\) | \(P(X=k)\) |
| Au plus \(k\) succès | \(X\leq k\) | \(P(X\leq k)\) |
| Moins de \(k\) succès | \(X| \(P(X\leq k-1)\) | |
| Au moins \(k\) succès | \(X\geq k\) | \(P(X\geq k)\) |
| Plus de \(k\) succès | \(X>k\), donc \(X\geq k+1\) | \(P(X>k)\) |
| Entre \(a\) et \(b\), bornes comprises | \(a\leq X\leq b\) | \(P(a\leq X\leq b)\) |
2. « Exactement »
« Exactement \(k\) succès » signifie :
\[
\boxed{X=k}.
\]
On cherche donc :
\[
\boxed{P(X=k)}.
\]
Si \(X\) désigne le nombre de réponses correctes à un questionnaire, « obtenir exactement \(7\) bonnes réponses » se traduit par :
\[
\boxed{P(X=7)}.
\]
3. « Au plus »
« Au plus \(k\) » signifie « \(k\) ou moins » :
\[
\boxed{X\leq k}.
\]
« Obtenir au plus \(3\) pièces défectueuses » signifie :
\[
\boxed{P(X\leq3)}.
\]
Cela regroupe :
\[
X=0,\;1,\;2\text{ ou }3.
\]
Le mot « au plus » correspond toujours au symbole :
\[
\boxed{\leq}.
\]
4. « Moins de »
« Moins de \(k\) » signifie :
\[
X
« Obtenir moins de \(5\) succès » signifie :
\[
X<5,
\]
donc :
\[
\boxed{X\leq4}.
\]
5. « Au moins »
« Au moins \(k\) » signifie « \(k\) ou plus » :
\[
\boxed{X\geq k}.
\]
« Obtenir au moins \(6\) succès » se traduit par :
\[
\boxed{P(X\geq6)}.
\]
Le mot « au moins » correspond toujours au symbole :
\[
\boxed{\geq}.
\]
6. « Plus de »
« Plus de \(k\) » signifie :
\[
X>k.
\]
Comme \(X\) est entière :
\[
\boxed{X\geq k+1}.
\]
« Obtenir plus de \(8\) succès » signifie :
\[
X>8,
\]
donc :
\[
\boxed{X\geq9}.
\]
7. « Entre \(a\) et \(b\) »
Si les bornes sont comprises, « entre \(a\) et \(b\) » se traduit par :
\[
\boxed{a\leq X\leq b}.
\]
« Obtenir entre \(4\) et \(9\) succès, bornes comprises » signifie :
\[
\boxed{P(4\leq X\leq9)}.
\]
Il faut lire attentivement l'énoncé : « entre \(4\) et \(9\), bornes comprises » et « strictement entre \(4\) et \(9\) » ne désignent pas le même événement.
8. Utiliser l'événement contraire
Certaines probabilités se calculent plus facilement avec le complémentaire :
\[
\boxed{P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)}
\]
et
\[
\boxed{P(X>k)=1-P(X\leq k)}.
\]
Pour calculer la probabilité d'obtenir au moins \(5\) succès :
\[
P(X\geq5)=1-P(X\leq4).
\]
Piège classique :
\[
P(X\geq5)\neq1-P(X\leq5).
\]
Le complémentaire de \(\{X\geq5\}\) est :
\[
\{X\leq4\}.
\]
9. Cas « aucun » et « au moins un »
Aucun succès
\[
\boxed{X=0}
\]
donc
\[
\boxed{P(X=0)}.
\]
Au moins un succès
\[
\boxed{X\geq1}
\]
donc
\[
\boxed{P(X\geq1)=1-P(X=0)}.
\]
10. Exemple complet
On considère :
\[
X\sim\mathcal B(20,0{,}4).
\]
a) Exactement \(8\) succès
\[ \boxed{P(X=8)}. \]b) Au plus \(6\) succès
\[ \boxed{P(X\leq6)}. \]c) Au moins \(10\) succès
\[ \boxed{P(X\geq10)} \] ou, pour le calcul : \[ \boxed{1-P(X\leq9)}. \]d) Plus de \(12\) succès
\[ \boxed{P(X>12)=P(X\geq13)} \] ou : \[ \boxed{1-P(X\leq12)}. \]e) Entre \(5\) et \(9\) succès, bornes comprises
\[ \boxed{P(5\leq X\leq9)}. \]11. Méthode express
Avant d'utiliser la calculatrice :
- Repérer le mot-clé : exactement, au plus, au moins, plus de, moins de…
- Écrire l'événement avec \(X\).
- Seulement ensuite choisir le calcul approprié.
Exercice d'entraînement
On considère une variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de succès obtenus au cours de \(30\) épreuves.
Traduire chacune des phrases suivantes par une probabilité portant sur \(X\).
1. Obtenir exactement \(12\) succès.
2. Obtenir au plus \(7\) succès.
3. Obtenir moins de \(9\) succès.
4. Obtenir au moins \(15\) succès.
5. Obtenir plus de \(20\) succès.
6. Obtenir entre \(10\) et \(18\) succès, bornes comprises.
7. N'obtenir aucun succès.
8. Obtenir au moins un succès.
1. Obtenir exactement \(12\) succès.
2. Obtenir au plus \(7\) succès.
3. Obtenir moins de \(9\) succès.
4. Obtenir au moins \(15\) succès.
5. Obtenir plus de \(20\) succès.
6. Obtenir entre \(10\) et \(18\) succès, bornes comprises.
7. N'obtenir aucun succès.
8. Obtenir au moins un succès.
Afficher la correction
1.
\[ \boxed{P(X=12)}. \]2.
\[ \boxed{P(X\leq7)}. \]3.
\[ P(X<9)=\boxed{P(X\leq8)}. \]4.
\[ \boxed{P(X\geq15)} \] ou \[ \boxed{1-P(X\leq14)}. \]5.
\[ P(X>20)=\boxed{P(X\geq21)} \] ou \[ \boxed{1-P(X\leq20)}. \]6.
\[ \boxed{P(10\leq X\leq18)}. \]7.
\[ \boxed{P(X=0)}. \]8.
\[ \boxed{P(X\geq1)=1-P(X=0)}. \]