Lorsque \(X\sim\mathcal B(n,p)\), la probabilité \(P(X=k)\) correspond à la probabilité d'obtenir exactement \(k\) succès parmi les \(n\) épreuves.
1. La formule fondamentale
Si
\[
X\sim\mathcal B(n,p),
\]
alors, pour tout entier \(k\) tel que \(0\leq k\leq n\) :
\[
\boxed{P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}}.
\]
\(\binom nk\)
nombre de façons de placer les \(k\) succès parmi les \(n\) épreuves
\(p^k\)
contribution des \(k\) succès
\((1-p)^{n-k}\)
contribution des \(n-k\) échecs
2. Pourquoi apparaît le coefficient \(\binom nk\) ?
Une succession précise contenant \(k\) succès et \(n-k\) échecs a pour probabilité :
\[
p^k(1-p)^{n-k}.
\]
Mais les \(k\) succès peuvent être placés de plusieurs façons parmi les \(n\) épreuves.
Le nombre de placements possibles est :
\[
\boxed{\binom nk}.
\]
On multiplie donc :
\[
\binom nk\times p^k(1-p)^{n-k}.
\]
Petit exemple
Pour \(n=4\) et \(k=2\), il existe :
\[
\binom42=6
\]
successions comportant exactement deux succès.
Par exemple :
\[
SS\overline S\overline S,\quad
S\overline SS\overline S,\quad
S\overline S\overline SS,
\]
et trois autres successions.
Chaque succession a la même probabilité :
\[
p^2(1-p)^2.
\]
Donc :
\[
P(X=2)=\binom42p^2(1-p)^2.
\]
3. Méthode en 4 étapes
- Repérer la loi : \[ X\sim\mathcal B(n,p). \]
- Repérer la valeur \(k\) correspondant à « exactement \(k\) succès ».
- Écrire la formule : \[ P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}. \]
- Remplacer \(n\), \(p\) et \(k\), puis calculer et arrondir seulement à la fin.
4. Exemple détaillé
On considère :
\[
X\sim\mathcal B(15,0{,}3).
\]
On cherche la probabilité d'obtenir exactement \(4\) succès.
Étape 1 — Identifier \(n\), \(p\) et \(k\)
\[ n=15,\qquad p=0{,}3,\qquad k=4. \]Étape 2 — Appliquer la formule
\[ P(X=4) = \binom{15}{4}(0{,}3)^4(0{,}7)^{11}. \]Étape 3 — Calculer
Comme : \[ \binom{15}{4}=1365, \] on obtient : \[ P(X=4) = 1365(0{,}3)^4(0{,}7)^{11}. \] D'où : \[ \boxed{P(X=4)\approx0{,}219}. \] La probabilité d'obtenir exactement \(4\) succès est donc d'environ : \[ \boxed{21{,}9\,\%}. \]5. Exemple dans un contexte
Une entreprise produit des objets dont \(8\,\%\) sont défectueux. On contrôle \(20\) objets dans des conditions assimilées à des épreuves indépendantes.
On note \(X\) le nombre d'objets défectueux.
Alors :
\[
X\sim\mathcal B(20,0{,}08).
\]
La probabilité d'obtenir exactement \(2\) objets défectueux est :
\[
P(X=2)
=
\binom{20}{2}(0{,}08)^2(0{,}92)^{18}.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X=2)\approx0{,}271}.
\]
Il y a donc environ \(27{,}1\,\%\) de chances d'obtenir exactement deux objets défectueux.
6. Cas particuliers
| Événement | Calcul |
|---|---|
| Aucun succès : \(X=0\) | \[ P(X=0)=\binom n0p^0(1-p)^n=(1-p)^n \] |
| Tous les essais sont des succès : \(X=n\) | \[ P(X=n)=\binom nnp^n(1-p)^0=p^n \] |
Ainsi :
\[
\boxed{P(X=0)=(1-p)^n}
\]
et
\[
\boxed{P(X=n)=p^n}.
\]
7. Une erreur fréquente : oublier \(\binom nk\)
Écrire seulement
\[
p^k(1-p)^{n-k}
\]
donne la probabilité d'une succession précise comportant \(k\) succès.
Pour obtenir la probabilité d'avoir exactement \(k\) succès, quelle que soit leur position, il faut multiplier par :
\[
\boxed{\binom nk}.
\]
8. Une autre erreur : inverser succès et échec
Si \(p\) est la probabilité du succès, alors :
\[
p^k
\]
correspond aux \(k\) succès et
\[
(1-p)^{n-k}
\]
aux \(n-k\) échecs.
Il ne faut pas inverser les deux exposants.
9. Rédaction attendue
Une rédaction propre est par exemple :
« Comme \(X\sim\mathcal B(15,0{,}3)\), la probabilité d'obtenir exactement \(4\) succès est \[ P(X=4) = \binom{15}{4}(0{,}3)^4(0{,}7)^{11} \approx0{,}219. \] Ainsi, la probabilité d'obtenir exactement \(4\) succès est d'environ \(21{,}9\,\%\). »
« Comme \(X\sim\mathcal B(15,0{,}3)\), la probabilité d'obtenir exactement \(4\) succès est \[ P(X=4) = \binom{15}{4}(0{,}3)^4(0{,}7)^{11} \approx0{,}219. \] Ainsi, la probabilité d'obtenir exactement \(4\) succès est d'environ \(21{,}9\,\%\). »
10. Méthode express
Pour « exactement \(k\) succès » :
\[
\boxed{P(X=k)}
\]
puis :
\[
\boxed{P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}}.
\]
Toujours vérifier :
\[
\boxed{k+(n-k)=n}.
\]
Exercice d'entraînement
Un joueur réussit une épreuve avec une probabilité de \(0{,}6\). Il répète cette épreuve \(12\) fois de façon indépendante. On note \(X\) le nombre de succès obtenus.
1. Donner la loi suivie par \(X\).
2. Écrire la formule permettant de calculer \(P(X=7)\).
3. Calculer \(P(X=7)\), arrondi au millième.
1. Donner la loi suivie par \(X\).
2. Écrire la formule permettant de calculer \(P(X=7)\).
3. Calculer \(P(X=7)\), arrondi au millième.
Afficher la correction
1.
\[ \boxed{X\sim\mathcal B(12,0{,}6)}. \]2.
\[ P(X=7) = \binom{12}{7}(0{,}6)^7(0{,}4)^5. \]3.
\[ \binom{12}{7}=792. \] Ainsi : \[ P(X=7) = 792(0{,}6)^7(0{,}4)^5 \approx0{,}227. \] Donc : \[ \boxed{P(X=7)\approx0{,}227}. \]