Lorsque \(X\sim\mathcal B(n,p)\), on ne cherche pas toujours la probabilité d'obtenir exactement \(k\) succès. Il faut souvent calculer la probabilité d'obtenir au plus, au moins ou entre deux valeurs.
1. Probabilité cumulée \(P(X\leq k)\)
La probabilité
\[
\boxed{P(X\leq k)}
\]
correspond à la probabilité d'obtenir au plus \(k\) succès.
Comme \(X\) prend des valeurs entières :
\[
\boxed{
P(X\leq k)
=
P(X=0)+P(X=1)+\cdots+P(X=k)
}
\]
Ou encore :
\[ P(X\leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom ni p^i(1-p)^{n-i}. \]
On considère :
\[
X\sim\mathcal B(20,0{,}35).
\]
La probabilité d'obtenir au plus \(6\) succès est :
\[
P(X\leq6).
\]
On obtient :
\[
\boxed{P(X\leq6)\approx0{,}417}.
\]
2. Probabilité \(P(X\geq k)\)
« Au moins \(k\) succès » signifie :
\[
\boxed{X\geq k}.
\]
Plutôt que d'additionner toutes les probabilités de \(k\) jusqu'à \(n\), on utilise généralement l'événement contraire :
\[
\boxed{P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)}.
\]
Avec :
\[
X\sim\mathcal B(20,0{,}35),
\]
on cherche la probabilité d'obtenir au moins \(9\) succès.
On écrit :
\[
P(X\geq9)=1-P(X\leq8).
\]
Donc :
\[
\boxed{P(X\geq9)\approx0{,}238}.
\]
Attention :
\[
P(X\geq k)\neq1-P(X\leq k).
\]
Le complémentaire de \(\{X\geq k\}\) est :
\[
\{X\leq k-1\}.
\]
3. Probabilité entre deux valeurs
Pour deux entiers \(a\) et \(b\) avec \(a\leq b\) :
\[
P(a\leq X\leq b)
\]
correspond à la probabilité que \(X\) prenne une valeur comprise entre \(a\) et \(b\), bornes incluses.
\[
\boxed{
P(a\leq X\leq b)
=
P(X\leq b)-P(X\leq a-1)
}
\]
Toujours avec :
\[
X\sim\mathcal B(20,0{,}35),
\]
on cherche :
\[
P(5\leq X\leq10).
\]
On écrit :
\[
P(5\leq X\leq10)
=
P(X\leq10)-P(X\leq4).
\]
On obtient :
\[
\boxed{P(5\leq X\leq10)\approx0{,}829}.
\]
4. Les cas stricts
Moins de \(k\)
\[
X
Plus de \(k\)
\[
X>k
\]
équivaut à :
\[
\boxed{X\geq k+1}.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X>k)=1-P(X\leq k)}.
\]
5. Tableau récapitulatif
| Expression | Écriture utile |
|---|---|
| Au plus \(k\) | \(\boxed{P(X\leq k)}\) |
| Moins de \(k\) | \(\boxed{P(X\leq k-1)}\) |
| Au moins \(k\) | \(\boxed{1-P(X\leq k-1)}\) |
| Plus de \(k\) | \(\boxed{1-P(X\leq k)}\) |
| Entre \(a\) et \(b\), bornes comprises | \(\boxed{P(X\leq b)-P(X\leq a-1)}\) |
6. Méthode en 3 étapes
- Traduire la phrase en un événement portant sur \(X\).
- Transformer l'événement en une probabilité cumulée simple si nécessaire.
- Calculer puis arrondir seulement à la fin.
Le réflexe à avoir est :
\[
\boxed{\text{traduire d'abord, calculer ensuite}}.
\]
7. Exemple complet
Une entreprise fabrique des composants. La probabilité qu'un composant soit défectueux est \(0{,}06\). On contrôle \(40\) composants dans des conditions assimilées à des épreuves indépendantes.
On note \(X\) le nombre de composants défectueux.
Alors :
\[
X\sim\mathcal B(40,0{,}06).
\]
a) Au plus deux composants défectueux
\[ P(X\leq2). \]b) Au moins quatre composants défectueux
\[ P(X\geq4)=1-P(X\leq3). \]c) Entre deux et cinq composants défectueux
\[ P(2\leq X\leq5) = P(X\leq5)-P(X\leq1). \] Ce qui compte ici est surtout de choisir la bonne écriture probabiliste avant tout calcul numérique.8. Les pièges fréquents
- Confondre « au plus » avec « au moins ».
- Écrire \(1-P(X\leq k)\) pour calculer \(P(X\geq k)\).
- Oublier le décalage d'une unité dans les événements stricts.
- Écrire \(P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)\) au lieu de soustraire \(P(X\leq a-1)\).
- Commencer le calcul avant d'avoir traduit correctement la phrase.
9. Méthode express
À mémoriser :
\[
\boxed{P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)}
\]
\[
\boxed{P(X>k)=1-P(X\leq k)}
\]
\[
\boxed{
P(a\leq X\leq b)
=
P(X\leq b)-P(X\leq a-1)
}
\]
Exercice d'entraînement
On considère :
\[
X\sim\mathcal B(30,0{,}25).
\]
Calculer, en arrondissant au millième :
1. \(P(X\leq6)\).
2. \(P(X\geq10)\).
3. \(P(4\leq X\leq9)\).
1. \(P(X\leq6)\).
2. \(P(X\geq10)\).
3. \(P(4\leq X\leq9)\).
Afficher la correction
1.
\[ \boxed{P(X\leq6)\approx0{,}348}. \]2.
\[ P(X\geq10) = 1-P(X\leq9). \] Donc : \[ \boxed{P(X\geq10)\approx0{,}197}. \]3.
\[ P(4\leq X\leq9) = P(X\leq9)-P(X\leq3). \] Ainsi : \[ \boxed{P(4\leq X\leq9)\approx0{,}766}. \]