Avec une loi binomiale, certaines probabilités seraient longues à calculer directement. Le recours à l'événement contraire permet souvent de transformer le problème en un seul calcul simple.
1. La règle fondamentale
Pour tout événement \(A\) :
\[
\boxed{P(\overline A)=1-P(A)}.
\]
De façon équivalente :
\[
\boxed{P(A)=1-P(\overline A)}.
\]
L'idée consiste donc à se demander :
« Quel est l'événement contraire de celui que je cherche ? »
2. Cas essentiel : « au moins un succès »
L'événement contraire de :
\[
\text{« obtenir au moins un succès »}
\]
est :
\[
\text{« n'obtenir aucun succès »}.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X\geq1)=1-P(X=0)}.
\]
Si \(X\sim\mathcal B(n,p)\), alors :
\[ P(X=0)=(1-p)^n. \] Donc :
\[
\boxed{P(X\geq1)=1-(1-p)^n}.
\]
On répète \(18\) fois une épreuve indépendante dont la probabilité de succès est \(0{,}25\).
Alors :
\[
X\sim\mathcal B(18,0{,}25).
\]
La probabilité d'obtenir au moins un succès est :
\[
P(X\geq1)=1-P(X=0).
\]
Donc :
\[
P(X\geq1)=1-(0{,}75)^{18}.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X\geq1)\approx0{,}994}.
\]
3. « Au moins \(k\) succès »
L'événement contraire de :
\[
\{X\geq k\}
\]
est :
\[
\{X\leq k-1\}.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)}.
\]
Toujours avec :
\[
X\sim\mathcal B(18,0{,}25),
\]
on cherche la probabilité d'obtenir au moins \(5\) succès.
On écrit :
\[
P(X\geq5)=1-P(X\leq4).
\]
On obtient :
\[
\boxed{P(X\geq5)\approx0{,}481}.
\]
Erreur très fréquente :
\[
P(X\geq5)\neq1-P(X\leq5).
\]
Le complémentaire de \(X\geq5\) est bien :
\[
X\leq4.
\]
4. « Plus de \(k\) succès »
« Plus de \(k\) succès » signifie :
\[
X>k.
\]
L'événement contraire est :
\[
X\leq k.
\]
Donc :
\[
\boxed{P(X>k)=1-P(X\leq k)}.
\]
Avec :
\[
X\sim\mathcal B(18,0{,}25),
\]
la probabilité d'obtenir plus de \(6\) succès vaut :
\[
P(X>6)=1-P(X\leq6).
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X>6)\approx0{,}139}.
\]
5. Quand utiliser directement la formule ?
Calcul direct conseillé
Pour :
\[
P(X=k)
\]
ou
\[
P(X\leq k),
\]
l'écriture directe est généralement naturelle.
Événement contraire conseillé
Pour :
\[
P(X\geq k),
\qquad
P(X>k),
\]
ou « au moins un succès », le complémentaire est souvent beaucoup plus efficace.
6. Exemple contextualisé
Une entreprise sait que \(8\,\%\) des produits qu'elle fabrique sont défectueux. On contrôle \(25\) produits de manière indépendante.
On note \(X\) le nombre de produits défectueux.
Alors :
\[
X\sim\mathcal B(25,0{,}08).
\]
On cherche la probabilité que le lot contienne au moins un produit défectueux.
L'événement contraire est :
\[
X=0.
\]
Donc :
\[
P(X\geq1)=1-P(X=0).
\]
Or :
\[
P(X=0)=(0{,}92)^{25}.
\]
Ainsi :
\[
P(X\geq1)=1-(0{,}92)^{25}
\approx\boxed{0{,}876}.
\]
Il y a donc environ \(87{,}6\,\%\) de chances que le lot contienne au moins un produit défectueux.
7. Tableau des complémentaires à connaître
| Événement recherché | Événement contraire | Calcul |
|---|---|---|
| \(X\geq1\) | \(X=0\) | \(1-P(X=0)\) |
| \(X\geq k\) | \(X\leq k-1\) | \(1-P(X\leq k-1)\) |
| \(X>k\) | \(X\leq k\) | \(1-P(X\leq k)\) |
| \(X\leq k\) | \(X\geq k+1\) | \(1-P(X\geq k+1)\) |
8. Une bonne rédaction
Par exemple :
« On cherche la probabilité d'obtenir au moins \(5\) succès, soit \(P(X\geq5)\). L'événement contraire est \(\{X\leq4\}\). Ainsi : \[ P(X\geq5)=1-P(X\leq4). \] La calculatrice donne … »
« On cherche la probabilité d'obtenir au moins \(5\) succès, soit \(P(X\geq5)\). L'événement contraire est \(\{X\leq4\}\). Ainsi : \[ P(X\geq5)=1-P(X\leq4). \] La calculatrice donne … »
9. Les pièges fréquents
- Oublier le décalage d'une unité dans \(P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)\).
- Confondre « au moins \(k\) » avec « plus de \(k\) ».
- Utiliser le complémentaire alors que le calcul direct est déjà très simple.
- Écrire seulement une valeur numérique sans préciser l'événement calculé.
- Arrondir avant la fin du calcul.
10. Méthode express
À retenir absolument :
\[
\boxed{P(X\geq1)=1-P(X=0)}
\]
\[
\boxed{P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1)}
\]
\[
\boxed{P(X>k)=1-P(X\leq k)}
\]
Avant tout calcul, écrire l'événement contraire en toutes lettres si nécessaire.
Exercice d'entraînement
On considère :
\[
X\sim\mathcal B(30,0{,}2).
\]
Calculer, en utilisant l'événement contraire lorsque cela est pertinent :
1. La probabilité d'obtenir au moins un succès.
2. La probabilité d'obtenir au moins \(8\) succès.
3. La probabilité d'obtenir plus de \(10\) succès.
1. La probabilité d'obtenir au moins un succès.
2. La probabilité d'obtenir au moins \(8\) succès.
3. La probabilité d'obtenir plus de \(10\) succès.
Afficher la correction
1. Au moins un succès
\[ P(X\geq1)=1-P(X=0). \] Comme : \[ P(X=0)=(0{,}8)^{30}, \] on obtient : \[ P(X\geq1)=1-(0{,}8)^{30} \approx\boxed{0{,}999}. \]2. Au moins \(8\) succès
\[ P(X\geq8)=1-P(X\leq7). \] Donc : \[ \boxed{P(X\geq8)\approx0{,}239}. \]3. Plus de \(10\) succès
\[ P(X>10)=1-P(X\leq10). \] Ainsi : \[ \boxed{P(X>10)\approx0{,}026}. \]