Lorsque \(X\sim\mathcal B(n,p)\), trois nombres permettent de résumer le comportement de la variable aléatoire : son espérance, sa variance et son écart-type.
1. Les trois formules à connaître
Espérance
\[
\boxed{E(X)=np}
\]
Variance
\[
\boxed{V(X)=np(1-p)}
\]
Écart-type
\[
\boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}}
\]
Ces formules sont valables dès que :
\[
\boxed{X\sim\mathcal B(n,p)}.
\]
2. Calculer l'espérance
L'espérance est donnée par :
\[
\boxed{E(X)=np}.
\]
Elle représente le nombre moyen de succès obtenu lorsque l'on répète un très grand nombre de fois le même schéma de Bernoulli.
On considère :
\[
X\sim\mathcal B(80,0{,}15).
\]
Alors :
\[
E(X)=80\times0{,}15=12.
\]
Donc :
\[
\boxed{E(X)=12}.
\]
Sur un grand nombre de séries de \(80\) épreuves, on obtient en moyenne \(12\) succès par série.
L'espérance n'est pas forcément une valeur que \(X\) peut réellement prendre. Si, par exemple, \(E(X)=7{,}2\), cela signifie seulement que la moyenne théorique est \(7{,}2\) succès.
3. Calculer la variance
La variance est donnée par :
\[
\boxed{V(X)=np(1-p)}.
\]
Avec :
\[
X\sim\mathcal B(80,0{,}15),
\]
on obtient :
\[
V(X)=80\times0{,}15\times0{,}85.
\]
Donc :
\[
\boxed{V(X)=10{,}2}.
\]
La variance mesure la dispersion des valeurs de \(X\) autour de l'espérance. Elle est toujours positive ou nulle.
4. Calculer l'écart-type
L'écart-type est la racine carrée de la variance :
\[
\boxed{\sigma(X)=\sqrt{V(X)}}.
\]
Pour une loi binomiale :
\[
\boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}}.
\]
Dans notre exemple :
\[
\sigma(X)=\sqrt{10{,}2}.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{\sigma(X)\approx3{,}19}.
\]
5. Interpréter les résultats
Pour une loi binomiale :
- \(E(X)\) indique le centre de la distribution ;
- \(V(X)\) mesure la dispersion au carré ;
- \(\sigma(X)\) mesure la dispersion dans la même unité que \(X\).
Une rédaction correcte peut être :
« Comme \(X\sim\mathcal B(80,0{,}15)\), on a \[ E(X)=80\times0{,}15=12. \] Ainsi, sur un grand nombre de séries de \(80\) épreuves, on obtient en moyenne \(12\) succès par série. »
« Comme \(X\sim\mathcal B(80,0{,}15)\), on a \[ E(X)=80\times0{,}15=12. \] Ainsi, sur un grand nombre de séries de \(80\) épreuves, on obtient en moyenne \(12\) succès par série. »
6. Exemple complet
Une entreprise sait que \(8\,\%\) des composants qu'elle fabrique sont défectueux. On contrôle \(120\) composants dans des conditions assimilées à des épreuves indépendantes.
On note \(X\) le nombre de composants défectueux.
Alors :
\[
X\sim\mathcal B(120,0{,}08).
\]
Espérance
\[ E(X)=120\times0{,}08=9{,}6. \] Donc : \[ \boxed{E(X)=9{,}6}. \] Sur un grand nombre de contrôles de \(120\) composants, on observe en moyenne \(9{,}6\) composants défectueux par contrôle.Variance
\[ V(X)=120\times0{,}08\times0{,}92. \] Ainsi : \[ \boxed{V(X)=8{,}832}. \]Écart-type
\[ \sigma(X)=\sqrt{8{,}832}. \] Donc : \[ \boxed{\sigma(X)\approx2{,}97}. \]7. Comparer deux lois binomiales
Deux lois binomiales peuvent avoir la même espérance mais des dispersions différentes.
| Loi | Espérance | Variance | Écart-type |
|---|---|---|---|
| \(X\sim\mathcal B(20,0{,}5)\) | \(10\) | \(5\) | \(\sqrt5\approx2{,}24\) |
| \(Y\sim\mathcal B(100,0{,}1)\) | \(10\) | \(9\) | \(3\) |
Les deux lois ont la même espérance, mais :
\[
\sigma(Y)>\sigma(X).
\]
La loi de \(Y\) est donc davantage dispersée autour de \(10\).
8. Retrouver un paramètre
Comme :
\[
E(X)=np,
\]
si \(n\) et \(E(X)\) sont connus, on peut retrouver \(p\) :
\[
\boxed{p=\frac{E(X)}{n}}.
\]
On sait que :
\[
X\sim\mathcal B(40,p)
\]
et :
\[
E(X)=14.
\]
Alors :
\[
40p=14,
\]
d'où :
\[
\boxed{p=\frac{14}{40}=0{,}35}.
\]
9. Les pièges fréquents
- Écrire \(V(X)=np\) au lieu de \(V(X)=np(1-p)\).
- Confondre variance et écart-type.
- Oublier la racine carrée pour calculer \(\sigma(X)\).
- Interpréter \(E(X)\) comme une valeur certaine.
- Arrondir trop tôt les calculs intermédiaires.
10. Méthode express
Si :
\[
X\sim\mathcal B(n,p),
\]
alors :
\[
\boxed{E(X)=np}
\]
\[
\boxed{V(X)=np(1-p)}
\]
\[
\boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}}.
\]
Toujours interpréter \(E(X)\) dans le contexte du problème.
Exercice d'entraînement
On considère :
\[
X\sim\mathcal B(50,0{,}12).
\]
1. Calculer \(E(X)\).
2. Calculer \(V(X)\).
3. Calculer \(\sigma(X)\), arrondi au centième.
4. Interpréter \(E(X)\).
2. Calculer \(V(X)\).
3. Calculer \(\sigma(X)\), arrondi au centième.
4. Interpréter \(E(X)\).
Afficher la correction
1.
\[ E(X)=50\times0{,}12=6. \] Donc : \[ \boxed{E(X)=6}. \]2.
\[ V(X)=50\times0{,}12\times0{,}88. \] Ainsi : \[ \boxed{V(X)=5{,}28}. \]3.
\[ \sigma(X)=\sqrt{5{,}28}\approx2{,}30. \] Donc : \[ \boxed{\sigma(X)\approx2{,}30}. \]4.
Sur un grand nombre de séries de \(50\) épreuves, on obtient en moyenne : \[ \boxed{6\text{ succès par série}}. \]