Un problème de loi binomiale ne consiste pas seulement à effectuer un calcul. Il faut savoir modéliser la situation, justifier la loi utilisée, traduire correctement la question, calculer puis interpréter le résultat.
1. La méthode complète en 6 étapes
1. Définir le succèsNommer clairement l'événement considéré comme un succès.
2. Justifier le schéma de BernoulliVérifier répétition, deux issues, indépendance et probabilité constante.
3. Identifier \(n\) et \(p\)\(n\) est le nombre d'épreuves et \(p\) la probabilité du succès.
4. Définir \(X\)\(X\) compte le nombre de succès parmi les \(n\) épreuves.
5. Donner la loi\[\boxed{X\sim\mathcal B(n,p)}\]
6. Traduire, calculer et conclureÉcrire la probabilité recherchée, effectuer le calcul puis interpréter.
2. Exemple complet
Une entreprise commercialise des appareils électroniques. On estime que \(15\,\%\) des appareils présentent un défaut. On prélève au hasard \(40\) appareils dans des conditions assimilées à des prélèvements indépendants.
On appelle succès l'événement :
\[ S:\text{ « l'appareil est défectueux »}. \] Ainsi : \[ p=0{,}15 \qquad\text{et}\qquad n=40. \] On note \(X\) le nombre d'appareils défectueux parmi les \(40\) appareils prélevés. Les \(40\) épreuves sont indépendantes et la probabilité du succès reste constante. On a donc : \[ \boxed{X\sim\mathcal B(40,0{,}15)}. \]3. Exactement 4 appareils défectueux
« Exactement \(4\) » se traduit par :
\[
P(X=4).
\]
Donc :
\[
P(X=4)=\binom{40}{4}(0{,}15)^4(0{,}85)^{36}.
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X=4)\approx0{,}133}.
\]
La probabilité d'obtenir exactement \(4\) appareils défectueux est donc d'environ :
\[
\boxed{13{,}3\,\%}.
\]
4. Au plus 5 appareils défectueux
« Au plus \(5\) » se traduit par :
\[
P(X\leq5).
\]
On obtient :
\[
\boxed{P(X\leq5)\approx0{,}433}.
\]
5. Au moins 8 appareils défectueux
« Au moins \(8\) » se traduit par :
\[
P(X\geq8).
\]
On utilise l'événement contraire :
\[
P(X\geq8)=1-P(X\leq7).
\]
Ainsi :
\[
\boxed{P(X\geq8)\approx0{,}244}.
\]
Le complémentaire de \(\{X\geq8\}\) est \(\{X\leq7\}\), et non \(\{X\leq8\}\).
6. Entre 3 et 7 appareils défectueux
« Entre \(3\) et \(7\), bornes comprises » se traduit par :
\[
P(3\leq X\leq7).
\]
On écrit :
\[
P(3\leq X\leq7)
=
P(X\leq7)-P(X\leq2).
\]
Donc :
\[
\boxed{P(3\leq X\leq7)\approx0{,}707}.
\]
7. Espérance, variance et écart-type
Pour \(X\sim\mathcal B(n,p)\) :
\[
E(X)=np,\qquad
V(X)=np(1-p),\qquad
\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}.
\]
Ici :
\[
E(X)=40\times0{,}15=\boxed{6}.
\]
Sur un grand nombre de prélèvements de \(40\) appareils, on observe donc en moyenne \(6\) appareils défectueux par prélèvement.
Puis :
\[
V(X)=40\times0{,}15\times0{,}85=\boxed{5{,}1}.
\]
Enfin :
\[
\sigma(X)=\sqrt{5{,}1}\approx\boxed{2{,}26}.
\]
8. Modèle de rédaction
« On appelle succès l'événement \(S\) : “l'appareil est défectueux”. Les \(40\) prélèvements sont assimilés à des épreuves indépendantes et la probabilité du succès reste constante, égale à \(0{,}15\). Si \(X\) désigne le nombre d'appareils défectueux parmi les \(40\) appareils prélevés, alors
\[
X\sim\mathcal B(40,0{,}15).
\]
La probabilité d'obtenir au moins \(8\) appareils défectueux vaut :
\[
P(X\geq8)=1-P(X\leq7)\approx0{,}244.
\]
Ainsi, la probabilité d'obtenir au moins \(8\) appareils défectueux est d'environ \(24{,}4\,\%\). »
9. Les erreurs à éviter
- Donner une loi binomiale sans justifier les conditions.
- Ne pas définir précisément le succès et la variable \(X\).
- Confondre \(n\), \(p\) et la valeur \(k\).
- Confondre « au plus » et « au moins ».
- Oublier le décalage d'une unité avec l'événement contraire.
- Donner seulement une valeur numérique sans écrire la probabilité calculée.
- Ne pas interpréter l'espérance dans le contexte.
10. Checklist avant de rendre
Vérifier que la copie contient :
- le succès choisi ;
- la justification du schéma de Bernoulli ;
- les paramètres \(n\) et \(p\) ;
- la définition de \(X\) ;
- la notation \(X\sim\mathcal B(n,p)\) ;
- la bonne traduction probabiliste ;
- le calcul ;
- une conclusion adaptée au contexte.
Exercice d'entraînement
Un joueur réussit une épreuve avec une probabilité de \(0{,}2\). Il répète cette épreuve \(25\) fois de manière indépendante. On note \(Y\) le nombre de succès obtenus.
1. Justifier que \(Y\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer \(P(Y=6)\).
3. Calculer \(P(Y\geq7)\).
4. Calculer \(P(3\leq Y\leq6)\).
5. Calculer \(E(Y)\), \(V(Y)\) et \(\sigma(Y)\).
6. Interpréter \(E(Y)\).
1. Justifier que \(Y\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Calculer \(P(Y=6)\).
3. Calculer \(P(Y\geq7)\).
4. Calculer \(P(3\leq Y\leq6)\).
5. Calculer \(E(Y)\), \(V(Y)\) et \(\sigma(Y)\).
6. Interpréter \(E(Y)\).
Afficher la correction
1. Les \(25\) épreuves sont indépendantes, identiques et la probabilité de succès reste constante, égale à \(0{,}2\). Donc :
\[ \boxed{Y\sim\mathcal B(25,0{,}2)}. \]2.
\[ P(Y=6)=\binom{25}{6}(0{,}2)^6(0{,}8)^{19}. \] Ainsi : \[ \boxed{P(Y=6)\approx0{,}163}. \]3.
\[ P(Y\geq7)=1-P(Y\leq6). \] Donc : \[ \boxed{P(Y\geq7)\approx0{,}220}. \]4.
\[ P(3\leq Y\leq6)=P(Y\leq6)-P(Y\leq2). \] Ainsi : \[ \boxed{P(3\leq Y\leq6)\approx0{,}682}. \]5.
\[ E(Y)=25\times0{,}2=\boxed{5}, \] \[ V(Y)=25\times0{,}2\times0{,}8=\boxed{4}, \] et \[ \sigma(Y)=\sqrt4=\boxed{2}. \]6. Sur un grand nombre de séries de \(25\) épreuves, on obtient en moyenne :
\[ \boxed{5\text{ succès par série}}. \]