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Questions Flash

Série 1 — Coordonnées de points et de vecteurs dans l’espace

Objectif : tester rapidement tes réflexes sur les coordonnées dans l’espace. Essaie chaque question avant d’afficher le corrigé.
1

Coordonnées d’un vecteur et norme

Dans un repère orthonormé de l’espace, on donne \(A(1;-2;3)\) et \(B(4;1;-1)\).
  1. Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).
  2. Calculer la norme \(\|\overrightarrow{AB}\|\).

Correction

\[ \overrightarrow{AB}=(4-1\,;\,1-(-2)\,;\,-1-3)=(3;3;-4). \] Puis \[ \|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{3^2+3^2+(-4)^2} =\sqrt{34}. \]
Réponse : \(\overrightarrow{AB}=(3;3;-4)\) et \(\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{34}\).
2

Calculer plusieurs vecteurs

On donne \(A(2;-1;0)\), \(B(0;3;1)\) et \(C(1;5;-2)\).
  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
  2. Calculer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{BC}\).

Correction

\[ \overrightarrow{AB}=(-2;4;1),\qquad \overrightarrow{AC}=(-1;6;-2). \] Et \[ \overrightarrow{BC}=(1-0\,;\,5-3\,;\,-2-1)=(1;2;-3). \]
Réponse : \(\overrightarrow{AB}=(-2;4;1)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1;6;-2)\) et \(\overrightarrow{BC}=(1;2;-3)\).
3

Milieu, symétrique et distance

On donne \(A(-1;2;3)\), \(B(3;0;-1)\) et \(C(0;4;5)\).
  1. Déterminer les coordonnées du milieu \(I\) du segment \([AB]\).
  2. Déterminer les coordonnées du point \(D\), symétrique de \(C\) par rapport à \(A\).
  3. Calculer la distance \(AC\).

Correction

\[ I\left(\frac{-1+3}{2};\frac{2+0}{2};\frac{3+(-1)}{2}\right)=(1;1;1). \] Comme \(A\) est le milieu de \([CD]\), on a \(D=2A-C\), donc \[ D=(-2;0;1). \] Enfin, \[ \overrightarrow{AC}=(1;2;2) \quad\Longrightarrow\quad AC=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3. \]
Réponse : \(I(1;1;1)\), \(D(-2;0;1)\) et \(AC=3\).
4

Combinaisons de vecteurs

On donne les vecteurs \(\vec u=(2;-1;4)\) et \(\vec v=(-3;5;1)\).
  1. Calculer les coordonnées de \(\vec w=3\vec u-2\vec v\).
  2. Calculer les coordonnées de \(\vec t=\vec u+\vec v\).
  3. Déterminer la norme de \(\vec t\).

Correction

\[ \vec w=3(2;-1;4)-2(-3;5;1) =(12;-13;10). \] \[ \vec t=(2;-1;4)+(-3;5;1)=(-1;4;5). \] Ainsi, \[ \|\vec t\|=\sqrt{(-1)^2+4^2+5^2}=\sqrt{42}. \]
Réponse : \(\vec w=(12;-13;10)\), \(\vec t=(-1;4;5)\) et \(\|\vec t\|=\sqrt{42}\).

Les réflexes à retenir

Pour \(\overrightarrow{AB}\), on fait toujours coordonnées de B − coordonnées de A. Pour une distance dans un repère orthonormé, on utilise la norme du vecteur correspondant. Les opérations sur les vecteurs se font coordonnée par coordonnée.